Question

При скольких натуральных n из первой тысячи наибольший общий делитель чисел n^2+20 и (n+1)^2+20 принимает наибольшее возможное значение?

Answer 1

головок и описание

1

Числа, кратные 3 или 5

Если выписать все натуральные числа меньше 10, кратные 3 или 5, то получим 3, 5, 6 и 9. Сумма этих чисел равна 23.

Найдите сумму всех чисел меньше 1000, кратных 3 или 5.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем рассмотреть наибольший общий делитель (НОД) чисел n^2 + 20 и (n+1)^2 + 20, используя свойства НОД и алгоритм Евклида.

Пусть d - НОД чисел n^2 + 20 и (n+1)^2 + 20. Мы можем записать это следующим образом:

d = НОД(n^2 + 20, (n+1)^2 + 20)

Раскроем скобки во втором числе:

d = НОД(n^2 + 20, n^2 + 2n + 1 + 20) = НОД(n^2 + 20, n^2 + 2n + 21)

Вычтем из второго числа первое:

d = НОД(n^2 + 20, (n^2 + 2n + 21) - (n^2 + 20)) = НОД(n^2 + 20, 2n + 1)

Теперь мы можем применить алгоритм Евклида, чтобы найти НОД этих двух чисел. При этом мы заметим, что число 2n + 1 всегда нечётное, поэтому для достижения максимального значения НОД нам нужно, чтобы оно было максимально возможным. Максимальное значение для 2n + 1 достигается, когда n = 500, так как в первой тысячи натуральных чисел это наибольшее возможное значение.

Таким образом, наибольший общий делитель чисел n^2 + 20 и (n+1)^2 + 20 примет наибольшее возможное значение при n = 500.