Question

Доведіть, що значення виразу (n-16n²)-2(5n² -6n)кратне 13 при будь-якому натуральному n

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Раскроем скобки

n-16n^2-10n^2+12n

Приведём подобные слагаемые

13n-26n^2

Оба одночлена кратны 13, значит при любом n многочлен будет кратен 13

Можно Вынести 13 за скобки

13*(n-2n^2)

Answer 2

Для доведення цього твердження ми можемо використовувати метод математичної індукції.

Крок бази: Перевіримо вираз для найменшого натурального значення n, яке дорівнює 1: Підставимо n = 1 у вираз (n - 16n²) - 2(5n² - 6n):

(1 - 16 * 1²) - 2(5 * 1² - 6 * 1) = (1 - 16) - 2(5 - 6) = -15 + 2 = -13.

Отже, для n = 1 вираз має значення -13, яке дійсно кратне 13.

Припущення індукції: Припустимо, що вираз (n - 16n²) - 2(5n² - 6n) кратний 13 для деякого натурального числа k, тобто вираз при n = k дає ділення націло на 13.

Крок індукції: Доведемо, що вираз також кратний 13 для n = k + 1: Підставимо n = k + 1 у вираз (n - 16n²) - 2(5n² - 6n):

(k + 1 - 16(k + 1)²) - 2(5(k + 1)² - 6(k + 1)).

Ми можемо розкрити дужки та спростити вираз:

(k + 1 - 16k² - 32k - 16) - 2(5k² + 10k + 5 - 6k - 6).

Подальше спрощення дає:

-15k² - 42k - 13.

Ми бачимо, що отриманий вираз також має вигляд -13 помножити на яке-небудь число (15k² + 42k + 1), і тому, якщо наше припущення індукції вірне, то цей вираз має бути кратним 13.

Таким чином, ми встановили, що якщо вираз (n - 16n²) - 2(5n² - 6n) кратний 13 для певного натурального числа k, то він також буде кратним 13 для n = k + 1. Оскільки ми вже показали, що вираз має значення -13 для n = 1, за принципом математичної індукції ми можемо стверджувати, що він кратний 13 для будь-якого натурального n.