Question

Доску размером 20×13 разрезали на прямо- угольники размером 3×1 , 4×2 и 6×2 . Какое наименьшее число частей 3×1 могло получиться?

Answer 1

Пусть x,y,z количества участков каждого размера (3×1 , 4×2 и 6×2), то из рассуждений площадей имеем :

3×1x+4×2y+6×2z = 13×20 . ( 13 по горизонтали)

3x = 13×20 - 4×2y - 6×2z

Как видим, правая часть делится на 4, а значит x ( число прямоугольников 3×1 ) делится на 4, то есть x = 4;8;12;16...

Достаточно легко привести пример такого построения для x = 8 (смотрите рисунок). А вот с x = 4 возникают проблемы. Попробуем доказать, что вариант с x = 4 невозможен.

Поскольку число 13 нечетное, то каждая горизонталь должна пересекаться хотя бы с одним прямоугольником 3×1, иначе эта горизонталь будет пересекаться только с прямоугольниками 4×2 и 6×2, однако эти прямоугольники имеют только четные стороны, а значит они будут давать по горизонтали четную сумму, что противоречит нечетному числу 13 .

Всего мы имеем 20 горизонталей, однако у нас всего 4 прямоугольника 3×1, поэтому эти прямоугольники смогут покрыть не более 3×4 = 12 горизонталей, что нас не устраивает. То есть мы пришли к противоречию, вариант с x = 4 невозможен. Таким образом минимальное число прямоугольников 3×1 равно 8 .  

На рисунке как раз виден принцип построения, где мы покрыли все 20 горизонталей прямоугольниками 3×1, что было бы невозможным в случае, когда x= 4.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем представить доску как прямоугольник размером 20x13 и попытаться разрезать ее на прямоугольники 3x1, 4x2 и 6x2.

Итак, начнем с разрезания доски на прямоугольники 6x2. Мы видим, что длина доски (20) делится нацело на длину прямоугольника (6), и ширина доски (13) также делится нацело на ширину прямоугольника (2). Это означает, что мы можем разместить 20/6 = 3 прямоугольника 6x2 в длину и 13/2 = 6 прямоугольников 6x2 в ширину, и всего получим 3 * 6 = 18 прямоугольников 6x2 на доске.

Теперь, давайте посмотрим, сколько прямоугольников 3x1 мы можем разместить на оставшейся площади. У нас осталась область размером 20 - 6 * 3 = 2 в длину и 13 - 2 * 2 * 6 = 1 в ширину. Мы видим, что ширина оставшейся области меньше 3, поэтому мы не можем разместить в ней прямоугольники 3x1.

Таким образом, наименьшее число прямоугольников 3x1, которое мы можем получить, равно 0. Мы можем разрезать доску на 18 прямоугольников 6x2, но для 3x1 у нас нет подходящей площади.