Question

Решить уравнение sin2x-cosx=0 и выбрать корни, которые принадлежат промежутку (-п/2;п)

Answer 1

Ответ:

$sin2x-cosx=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \star \ \ sin2x=2\, sinx\cdot cosx\ \ \star \\\\2\, sinx\cdot cosx-cosx=0\\\\cosx\cdot (2\, sinx-1)=0\\\\a)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sinx=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=(-1)^{n}\cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in (-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi \ ):\ \ x=\dfrac{\pi}{6}\ ,\ x=\dfrac{5\pi }{6}\\\\Otvet:\ \ a)\ x_1=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ \ ,\ \ x_2=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi k\ \ ,\ \ n,k\in Z\ ;$

              $b)\ x_1=\dfrac{\pi}{6}\ ,\ x_2=\dfrac{5\pi }{6}\ .$

Answer 2

Давайте решим уравнение sin(2x) - cos(x) = 0 на интервале (-π/2, π).

Сначала преобразуем уравнение:

sin(2x) - cos(x) = 0

Теперь воспользуемся тригонометрическими идентичностями:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь уравнение выглядит так:

2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0

Факторизуем cos(x) из обоих членов:

cos(x)(2sin(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя:

1. cos(x) = 0
2. 2sin(x) - 1 = 0

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. cos(x) = 0: Находим все решения cos(x) = 0 на интервале (-π/2, π). Это происходит при x = π/2.

2. 2sin(x) - 1 = 0: Решим это уравнение:

2sin(x) = 1 sin(x) = 1/2

Находим все решения sin(x) = 1/2 на интервале (-π/2, π). Это происходит при x = π/6 и x = 5π/6.

Итак, на интервале (-π/2, π) у нас есть следующие корни:

x = π/2, x = π/6, x = 5π/6.