Question

Решите систему уравнений: #3x-y=5 #3x^2+y^2=13 Прошу, с объяснением, сама ведь не разберусь. Вместо скобки поставила решетки.

Answer 1

Объяснение:

y=-5+3x

3x^2+(-5+3x)^2=13

3x^2+9x^2-30x+25=13

12x^2-30x+25=13

12x^2-30x+25-13=0

12x^2-30x+12=0 (разделим это всё на 6)

2x^2-5x+2=0

2x^2-x-4x+2=0

x(2x-1)-2(2x-1)=0

(2x-1)(x-2)=0

2x-1 =0 или x-2=0

2x=1 x=2

x=1/2

2. 3*1/2+5-3*1/2=5

3*1/2+5-3*1/2-5=0

0=0 (скоратили)

и

3*2+5-3*2=5

3*2+5-3*2-5=5

0=0 (сократили)

Ответ: x = 1/2 и x = 2

Answer 2

Ответ:

$(\frac{1}{2}; -3\frac{1}{2}), \quad (2; 1);$

Объяснение:

$\left \{ {{3x-y=5} \atop {3x^{2}+y^{2}=13}} \right. ;$

Выражаем из верхнего уравнения переменную "у":

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {3x^{2}+y^{2}=13}} \right. ;$

Подставляем полученное выражение в нижнее уравнение вместо "у":

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {3x^{2}+(3x-5)^{2}=13}} \right. ;$

Раскрываем квадрат разности двух выражений, пользуясь следующей формулой:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2};$

$(3x-5)^{2}=(3x)^{2}-2 \cdot 3x \cdot 5+5^{2}=3^{2} \cdot x^{2}-30x+25=9x^{2}-30x+25;$

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {3x^{2}+9x^{2}-30x+25=13}} \right. ;$

Приведём подобные слагаемые. Для этого вынесем общий множитель за скобки:

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {(3+9) \cdot x^{2}-30x+25=13}} \right. ;$

Выполним сложение в скобке и перенесём слагаемое 13 со знаком минус в левую часть уравнения:

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {12x^{2}-30x+25-13=0}} \right. ;$

Выполним вычитание:

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {12x^{2}-30x+12=0}} \right. ;$

Разделив все части нижнего уравнения на 6, получим:

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {2x^{2}-5x+2=0}} \right. ;$

Теперь разделим все части нижнего уравнения на 2 для того, чтобы получить приведённое квадратное уравнение:

$\left \{ {{y=3x-5} \atop {x^{2}-2\frac{1}{2}x+1=0}} \right. ;$

Решаем нижнее уравнение по теореме Виета. Согласно ей, сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту при "х", взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:

$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=-(-2\frac{1}{2})} \atop {x_{1} \cdot x_{2}=1}} \right. ;$

Минус перед скобкой и минус после скобки дают плюс:

$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=2\frac{1}{2}} \atop {x_{1} \cdot x_{2}=1}} \right. ;$

Корнями этой системы являются числа 1/2 и 2.

Мы нашли два значения переменной "х". Теперь подставим каждое из них в верхнее уравнение:

$\left \{ {{y=3 \cdot \frac{1}{2}-5} \atop {x=\frac{1}{2}}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=\frac{3}{2}-\frac{10}{2}} \atop {x=\frac{1}{2}}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-\frac{7}{2}} \atop {x=\frac{1}{2}}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\frac{1}{2}} \atop {y=-3\frac{1}{2}}} \right. ;$

$\left \{ {{y=3 \cdot 2-5} \atop {x=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=6-5} \atop {x=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=2} \atop {y=1}} \right. ;$

Мы получили две пары корней:

$(\frac{1}{2}; -3\frac{1}{2}), \quad (2; 1);$

Они являются решениями системы.

Answer 3

Давайте решим данную систему уравнений методом подстановки. У нас есть два уравнения:

1. 3x - y = 5
2. 3x^2 + y^2 = 13

Давайте изолируем y в первом уравнении:

3x - y = 5 y = 3x - 5

Теперь мы можем подставить это выражение для y во второе уравнение:

3x^2 + (3x - 5)^2 = 13

Раскроем квадрат во втором слагаемом:

3x^2 + (9x^2 - 30x + 25) = 13

Теперь объединим подобные члены:

12x^2 - 30x + 25 = 13

Выразим все слагаемые на одной стороне уравнения:

12x^2 - 30x + 25 - 13 = 0

12x^2 - 30x + 12 = 0

Теперь давайте разделим все коэффициенты на их наибольший общий делитель, который равен 6:

2x^2 - 5x + 2 = 0

Это уравнение квадратное, и мы можем попробовать решить его, используя квадратное уравнение. Давайте найдем два корня x:

x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 2, b = -5 и c = 2:

x1,2 = (5 ± √((-5)^2 - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2)

x1,2 = (5 ± √(25 - 16)) / 4

x1,2 = (5 ± √9) / 4

x1,2 = (5 ± 3) / 4

Теперь найдем два значения x:

1. x1 = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2
2. x2 = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5

Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем найти соответствующие значения y, используя первое уравнение:

Для x = 2: y = 3x - 5 y = 3 * 2 - 5 y = 6 - 5 y = 1

Для x = 0.5: y = 3x - 5 y = 3 * 0.5 - 5 y = 1.5 - 5 y = -3.5

Итак, у нас есть две пары решений для данной системы уравнений:

1. x = 2, y = 1
2. x = 0.5, y = -3.5