Question

Решите неравенства с построение единичной окружности: а) корень из 2sinx+1<0 б) 2cosx-корень из 2 больше или равно 0 в) ctgx<1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из неравенств и построим соответствующие графики на единичной окружности.

а) $\sqrt{2}\sin(x) + 1 < 0$

Сначала выразим $\sin(x)$:

$\sin(x) < -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь давайте нарисуем график функции $\sin(x)$ на единичной окружности:

На графике видно, что $\sin(x)$ отрицательно в первом и четвертом квадрантах. Таким образом, решением данного неравенства будет:

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(2\pi - \frac{\pi}{4}, 2\pi\right)$

б) $2\cos(x) - \sqrt{2} \geq 0$

Сначала выразим $\cos(x)$:

$\cos(x) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь давайте нарисуем график функции $\cos(x)$ на единичной окружности:

На графике видно, что $\cos(x)$ положительно в первом и четвертом квадрантах. Таким образом, решением данного неравенства будет:

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left(2\pi - \frac{\pi}{4}, 2\pi\right]$

в) $\cot(x) < 1$

Сначала выразим $\cot(x)$:

$\cot(x) < 1$

Теперь давайте нарисуем график функции $\cot(x)$ на единичной окружности:

Для нахождения значения $\cot(x)$ на единичной окружности, можно взять обратное значение для $\tan(x)$, так как $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$. Таким образом, $\cot(x)$ будет максимальным в точке, где $\tan(x)$ минимально.

Известно, что $\tan(x)$ равен нулю в точках $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ и имеет максимальное значение в точках $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$. Таким образом, $\cot(x)$ будет минимальным в точках $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$.

Таким образом, решением данного неравенства будет:

$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}\right) \cup \ldots$

Итак, мы решили все три неравенства с использованием построения единичной окружности.