Question

Помогитееее 4. Найти f′(x0), если f(x) = (1 − x)^2(x + 2), x0 = −2. 5. Найти f′(x0), если f(x) =x^3/(x−2)^2, x0 = 6. 6. Найти f′(x0), если f(x) = sin^2πx ∙ (1 −x/2) , x0 = 6.

Answer 1

Ответ:

$4)f'(x) = 2(1 - x) \times ( - 1) \times (x + 2) + {(1 - x)}^{2} = \\ = (1 - x) \times ( - 2(x + 2) + 1 - x) = \\ = (1 - x) \times ( - 2x - 4 + 1 - x) = (1 - x) \times ( - 3x - 3)$

$f'( - 2) = (1 + 2) \times (6 - 3) = 3 \times 3 = 9$

$5)f'(x) = 3 {x}^{2} \times {(x - 2)}^{2} + 2(x - 2) {x}^{3} = \\ = {x}^{2} (x - 2) \times (3(x - 2) + 2x) = \\ = {x}^{2} (x - 2)(3x - 6 + 2x) = \\ = {x}^{2} (x - 2)(5x - 6)$

$f'(6) = 36 \times 4 \times (30 - 6) = 36 \times 4 \times 24 = 576$

$6)f'(x) = 2 \sin(\pi \: x) \times \cos(\pi \: x) \times (1 - \frac{x}{2} ) + ( - \frac{1}{2} ) { \sin }^{2} (\pi \: x) = \\ = ( 1- \frac{x}{2} ) \sin(2\pi \: x) - \frac{1}{2} { \sin }^{2} (\pi \: x)$

$f'(6) = (1 - 3) \sin(8\pi) - \frac{1}{2} { \sin }^{2} (6\pi) = 0 - 0 = 0$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по указанным точкам.

4. Найдем производную функции f(x) = (1 − x)^2(x + 2) и вычислим ее в точке x0 = -2. Используем правило производной произведения и правило цепочки:

f'(x) = [(1 - x)^2]'(x + 2) + (1 - x)^2[(x + 2)]'

Сначала найдем производные отдельных компонентов:

[(1 - x)^2]' = 2(1 - x)(-1) = -2(1 - x) [(x + 2)]' = 1

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

f'(x) = -2(1 - x)(x + 2) + (1 - x)^2

Теперь вычислим производную в точке x0 = -2:

f'(-2) = -2(1 - (-2))(-2 + 2) + (1 - (-2))^2 f'(-2) = -2(3)(0) + (3)^2 f'(-2) = 0 + 9 f'(-2) = 9

Ответ: f'(x0) = 9.

5. Найдем производную функции f(x) = x^3/(x - 2)^2 и вычислим ее в точке x0 = 6. Используем правило производной частного:

f'(x) = [x^3]'(x - 2)^2 - x^3[(x - 2)^2]'

Сначала найдем производные отдельных компонентов:

[x^3]' = 3x^2 [(x - 2)^2]' = 2(x - 2)

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

f'(x) = 3x^2(x - 2)^2 - x^3 * 2(x - 2)

Теперь вычислим производную в точке x0 = 6:

f'(6) = 3(6)^2(6 - 2)^2 - 6^3 * 2(6 - 2) f'(6) = 3(36)(4^2) - 216 * 2(4) f'(6) = 3(36)(16) - 432 f'(6) = 1944 - 432 f'(6) = 1512

Ответ: f'(x0) = 1512.

6. Найдем производную функции f(x) = sin^2(πx) * (1 - x/2) и вычислим ее в точке x0 = 6. Используем правило производной произведения:

f'(x) = [sin^2(πx)]'(1 - x/2) + sin^2(πx)[(1 - x/2)]'

Сначала найдем производные отдельных компонентов:

[sin^2(πx)]' = 2sin(πx)cos(πx) = 2sin(2πx) [(1 - x/2)]' = -1/2

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

f'(x) = 2sin(2πx)(1 - x/2) - sin^2(πx)/2

Теперь вычислим производную в точке x0 = 6:

f'(6) = 2sin(2π6)(1 - 6/2) - sin^2(π6)/2 f'(6) = 2sin(12π)(1 - 3) - sin^2(6π)/2 f'(6) = 2sin(0)(-2) - 0/2 f'(6) = 0

Ответ: f'(x0) = 0.