Question

В геометрической прогрессии (bn) известно, что b6-b4= 72, a b5 – b3= 36. а) Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии. b) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии.

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}b_6-b_4=72\\b_5-b_3=36\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1q^5-b_1q^3=72\\b_1q^4-b_1q^2=36\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1q^3\cdot (q^2-1)=72\\b_1q^2\cdot (q^2-1)=36\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}q^2-1=\dfrac{72}{b_1q^3}\\\ q^2-1=\dfrac{36}{b_1q^2}\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{72}{b_1q^3}=\dfrac{36}{b_1q^2}\ \ \ \to \ \ \ 72=36\cdot q\ \ ,\ \ q=2$

$a)\ \ b_1q^2=\dfrac{36}{q^2-1}\ \ \Rightarrow \ \ \ b_1=\dfrac{36}{q^2(q^2-1)}=\dfrac{36}{4\cdot (4-1)}=\dfrac{36}{4\cdot 3}=\dfrac{36}{12}=3\\\\\\b)\ \ S_8=\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\dfrac{3\cdot (2^8-1)}{2-1}=3\cdot 255=765$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать систему уравнений, основанную на свойствах геометрической прогрессии.

Давайте обозначим первый член прогрессии как "a" и знаменатель как "r". Тогда:

a1 = a (первый член) a2 = a * r (второй член) a3 = a * r^2 (третий член) ... an = a * r^(n-1) (n-й член)

Теперь мы можем воспользоваться данными из задачи:

1. b6 - b4 = 72 Это означает, что разность шестого и четвертого членов равна 72: a * r^5 - a * r^3 = 72

2. b5 - b3 = 36 Это означает, что разность пятого и третьего членов равна 36: a * r^4 - a * r^2 = 36

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a и r). Давайте решим ее.

Сначала выразим "a" из первого уравнения: a * r^5 - a * r^3 = 72 a * (r^5 - r^3) = 72 a = 72 / (r^5 - r^3)

Теперь подставим это выражение для "a" во второе уравнение: (72 / (r^5 - r^3)) * r^4 - (72 / (r^5 - r^3)) * r^2 = 36

Далее, умножим обе стороны на (r^5 - r^3), чтобы избавиться от дроби: 72 * r^4 - 72 * r^2 = 36 * (r^5 - r^3)

Раскроем скобки: 72 * r^4 - 72 * r^2 = 36 * r^5 - 36 * r^3

Теперь преобразуем уравнение: 36 * r^5 - 36 * r^3 - 72 * r^4 + 72 * r^2 = 0

Поделим обе стороны на 36: r^5 - r^3 - 2 * r^4 + 2 * r^2 = 0

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной "r". Мы можем попробовать найти его корни. Попробуем разложить его на множители:

r^2(r^3 - 2r^2 - 1) = 0

Сначала рассмотрим r^2 = 0. Это означает, что r = 0, но это не подходит для геометрической прогрессии.

Теперь рассмотрим уравнение r^3 - 2r^2 - 1 = 0. Это кубическое уравнение, которое можно решить численно, например, с помощью метода Ньютона или бинарного поиска. Решив его, вы найдете значения "r", а затем, используя выражение для "a", найдете значение "a".

Как только у вас будут значения "a" и "r", вы сможете найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

где S_n - сумма первых n членов, a - первый член, r - знаменатель.