Question

Решите -4x^2+12x-9<или=0

Answer 1

$-4x^2+12x -9 \leq 0$

Приравняем левую часть к нулю.

$-4x^2 + 12x - 9 = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot(-1)\\\\4x^2 - 12x + 9 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4\cdot 4\cdot 9 = 144 - 144 = 0\\\\x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-(-12)}{2\cdot 4} = \dfrac{12}{8} = 1,5$

$-4x^2 + 12x - 9 = -4(x-1,5)^2$

Посмотрим на это выражение. Квадрат любого выражения всегда будет неотрицательным числом, то есть, $\geq 0$, но оно умножится на стоящее рядом отрицательное число, из-за чего знак изменится на $\leq 0$, поэтому неравенство верно при любом $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

Answer 2

Чтобы решить неравенство -4x^2 + 12x - 9 ≤ 0, мы сначала найдем его корни, а затем определим интервалы, на которых оно выполняется.

1. Начнем с решения уравнения -4x^2 + 12x - 9 = 0. Для этого воспользуемся квадратным уравнением:

   -4x^2 + 12x - 9 = 0

   Для начала, умножим всё уравнение на -1, чтобы упростить его:

   4x^2 - 12x + 9 = 0

2. Теперь попробуем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена. Заметим, что это уравнение является полным квадратом:

   (2x - 3)^2 = 0

3. Теперь найдем корни уравнения:

   2x - 3 = 0

   2x = 3

   x = 3/2

Итак, у нас есть один корень уравнения x = 3/2.

4. Теперь мы знаем, что наше неравенство меняет знак в точке x = 3/2. Мы можем использовать эту точку, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Теперь проверим знак выражения -4x^2 + 12x - 9 на каждом интервале:

• Если x < 3/2, то (2x - 3) < 0, и (2x - 3)^2 будет положительным числом. Таким образом, -4x^2 + 12x - 9 будет отрицательным.

• Если x > 3/2, то (2x - 3) > 0, и (2x - 3)^2 также будет положительным числом. Таким образом, -4x^2 + 12x - 9 также будет отрицательным.

• Для x = 3/2, (2x - 3)^2 = 0, поэтому -4x^2 + 12x - 9 будет равным нулю.

Итак, неравенство -4x^2 + 12x - 9 ≤ 0 выполняется для всех значений x.