Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2, y=3-2x

Answer 1

$x^{2} =3-2x\\x^{2} +2x-3=0\\x_{1}=-3\\ x_{2}=1\\S=\int\limits^1_ {-3} {(3-2x-x^{2} )} \, dx =3x-x^{2} -\frac{x^{3} }{3} ]_{-3} ^{1}=\\=3-1-\frac{1}{3} +9+9-9=10\frac{2}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$, вам нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл площади между этими двумя кривыми.

Сначала найдем точки пересечения. Поставим уравнения $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$ равными друг другу и решим уравнение:

$x^2 = 3 - 2x$

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его:

$(x + 3)(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $x$:

1. $x = -3$
2. $x = 1$

Теперь, чтобы найти соответствующие значения $y$, подставим эти $x$ обратно в уравнения $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$:

Для $x = -3$: $y = (-3)^2 = 9$ $y = 3 - 2(-3) = 3 + 6 = 9$

Для $x = 1$: $y = (1)^2 = 1$ $y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

Итак, у нас есть две точки пересечения: (-3, 9) и (1, 1).

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл площади между этими двумя кривыми. Площадь можно выразить следующим образом:

$S = \int_{-3}^{1} [(3 - 2x) - x^2] \, dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_{-3}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx$

$S = \left[3x - x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{1}$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = \left[(3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-9 + 9 - \frac{27}{3})\right]$

$S = \left[\frac{8}{3} - (-9 + 9 - 9)\right]$

$S = \left[\frac{8}{3} + 9\right]$

$S = \frac{8}{3} + 9$

$S = \frac{8}{3} + \frac{27}{3}$

$S = \frac{35}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$, равна $\frac{35}{3}$ квадратных единиц.