Question

Помогите решить, знатоки Найти производную функции y = f(x) в точке x=a, когда: а) f(x)=(5-6x)^3, x=1 б) f(x)=√2x+3, x=-1в) f(x)=cos x/2, x= - pi/2​

Answer 1

$a)\ \ f(x)=(5-6x)^3\ \ ,\ \ \ a=1\\\\f'(x)=3\, (5-6x)^2\cdot (-6)=-18\, (5-6x)^2\\\\f'(1)=-18\cdot 1=-18\\\\\\b)\ \ f(x)=\sqrt{2x}+3\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x\geq 0\ \ ,\ \ x_0=-1\notin ODZ\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\\\\f'(-1)\ -\ ne\ \ syshestvyet$

$c)\ \ f(x)=\dfrac{cosx}{2}\ \ ,\ \ x_0=-\dfrac{\pi}{2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-sinx}{2}\ \ ,\ \ \ f'(-\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{-sin(-\frac{\pi}{2})}{2}=\dfrac{1}{2}$

Answer 2

Давайте найдем производные указанных функций в заданных точках.

а) f(x) = (5 - 6x)^3, x = 1

Для нахождения производной этой функции в точке x = 1, используем правило цепочки (chain rule). Первым шагом найдем производную внешней функции (5 - 6x)^3 по внутренней функции (5 - 6x), а затем умножим на производную внутренней функции по x.

f'(x) = 3(5 - 6x)^2 * (-6)

Теперь подставим x = 1:

f'(1) = 3(5 - 6*1)^2 * (-6) = 3(5 - 6)^2 * (-6) = 3(-1)^2 * (-6) = 3 * 1 * (-6) = -18

Ответ: f'(1) = -18.

б) f(x) = √(2x + 3), x = -1

Для нахождения производной этой функции в точке x = -1, применим правило дифференцирования сложной функции.

f'(x) = (1/2) * (2x + 3)^(-1/2) * 2

Теперь подставим x = -1:

f'(-1) = (1/2) * (2*(-1) + 3)^(-1/2) * 2 = (1/2) * (2 - 1)^(-1/2) * 2 = (1/2) * 1^(-1/2) * 2 = (1/2) * 1 * 2 = 1

Ответ: f'(-1) = 1.

в) f(x) = cos(x/2), x = -π/2

Производная функции cos(x/2) равна:

f'(x) = (-1/2) * sin(x/2)

Теперь подставим x = -π/2:

f'(-π/2) = (-1/2) * sin((-π/2)/2) = (-1/2) * sin(-π/4) = (-1/2) * (-√2/2) = √2/4

Ответ: f'(-π/2) = √2/4.