Question

Как построить график f(x)=4|x|-x^2 Покажите шаги решения

Answer 1

f(x) = 4|x| - x²

1. D(f) = R - симметрична относительно 0.

2. f(-x) = 4|-x| - (-x)² = 4|x| - x² = = f(x),

по определению f(x) - чётнвя.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу.

3. Построим часть графика для х ≥ 0, а затем отобразим построенную часть симметрично относительно оси Оу.

f(x) = 4x - x² - квадратичная, графиком является парабола, ветви направлены вниз, т.к. а = - 1, а<0.

х вершины = - b/(2a) = -4/(-2) = 2;

у вершины = 4•2 - 2² = 4;

(2;4) - вершина параболы.

Найдём нули функции:

4x - x² = 0

- х (х - 4) = 0

х = 0 или х = 4

(0;0) и (4;0) - точки пересечения с осью Ох.

Изображение графика смотрите в прикреплённом чертеже.

Answer 2

Чтобы построить график функции $f(x) = 4|x| - x^2$, вам потребуется выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции: Функция $f(x)$ определена для всех действительных чисел $x$, так как абсолютное значение $|x|$ всегда возвращает неотрицательное число, а квадратичное слагаемое $x^2$ также принимает все действительные значения. Таким образом, область определения функции - это $\mathbb{R}$, или множество всех действительных чисел.

2. Найти корни функции: Чтобы найти корни функции, решим уравнение $4|x| - x^2 = 0$. Разделим это уравнение на 4: $\frac{4|x|}{4} - \frac{x^2}{4} = 0$ $|x| - \frac{x^2}{4} = 0$ Теперь рассмотрим два случая:

   • Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и уравнение становится: $x - \frac{x^2}{4} = 0$
   • Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение становится: $-x - \frac{x^2}{4} = 0$

   В обоих случаях мы получаем квадратные уравнения, которые можно решить. Найденные корни помогут нам определить точки пересечения функции с осью $x$.

3. Найти точки пересечения функции с осью $y$ (y-интерцепт): Это можно сделать, подставив $x = 0$ в уравнение функции и вычислив $f(0)$.

4. Найти экстремумы функции (максимумы и минимумы): Для этого найдем производную функции $f(x)$, приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение.

5. Найти поведение функции при $x \to \pm\infty$: Это позволит нам понять, как функция ведет себя на бесконечности.

6. Построить график: Нарисуйте оси координат $x$ и $y$, отметьте на них найденные корни, точки пересечения с осью $y$, экстремумы и учтите поведение функции на бесконечности. Затем, соедините точки с помощью плавных кривых, чтобы получить график функции $f(x)$.

Эти шаги помогут вам построить график функции $f(x) = 4|x| - x^2$.