Question

Найдите производную функции f(x)в точке x0,используя алгоритм нахождения производной: а)f(x)=3x^2+1,x0=-2;б)f(x)=x^2-2,x0=-1.​

Answer 1

Ответ:

1)f'(x)=6x

f'(x0)=-12

2) f'(x)=2x

f'(x0)=-2

Answer 2

Для нахождения производной функции в точке $x_0$ с использованием алгоритма нахождения производной, нужно воспользоваться формулой для производной функции $f(x)$:

$f'(x_0) = \lim_{{h \to 0}}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

a) Для функции $f(x) = 3x^2 + 1$ и $x_0 = -2$:

$f'(-2) = \lim_{{h \to 0}}\frac{3(-2 + h)^2 + 1 - (3(-2)^2 + 1)}{h}$

Выполним вычисления:

$f'(-2) = \lim_{{h \to 0}}\frac{3(h^2 - 4h + 4) + 1 - (12 + 1)}{h}$

$f'(-2) = \lim_{{h \to 0}}\frac{3h^2 - 12h + 12 - 13}{h}$

$f'(-2) = \lim_{{h \to 0}}\frac{3h^2 - 12h - 1}{h}$

Теперь можно упростить выражение:

$f'(-2) = \lim_{{h \to 0}}\frac{h(3h - 12) - 1}{h}$

$f'(-2) = \lim_{{h \to 0}}(3h - 12) - \frac{1}{h}$

Теперь подставим $h = 0$:

$f'(-2) = (3 \cdot 0 - 12) - \frac{1}{0}$

Здесь есть деление на ноль, что делает это выражение неопределенным. Это означает, что производная функции $f(x) = 3x^2 + 1$ в точке $x_0 = -2$ не существует.

b) Для функции $f(x) = x^2 - 2$ и $x_0 = -1$:

$f'(-1) = \lim_{{h \to 0}}\frac{(-1 + h)^2 - 2 - ((-1)^2 - 2)}{h}$

Выполним вычисления:

$f'(-1) = \lim_{{h \to 0}}\frac{(h^2 - 2h + 1) - 2 - (1 - 2)}{h}$

$f'(-1) = \lim_{{h \to 0}}\frac{h^2 - 2h - 1}{h}$

Теперь можно упростить выражение:

$f'(-1) = \lim_{{h \to 0}}\frac{h(h - 2) - 1}{h}$

$f'(-1) = \lim_{{h \to 0}}(h - 2) - \frac{1}{h}$