Question

Решите пожалуйста логарифмические неравенства

Answer 1

 1)log1/2(x+3)>=-2            ОДЗ: x+3>0; x>-3
log1/2(x+3) >= log1/2(4)
x+3<=4
x<=4-3
x<=1
С учетом ОДЗ х принадлежит (-3;1]

2) [log1/2(x)]^2+ log1/2(x)-2<=0                ОДЗ: x>0
Сделаем замену:
log1/2(x) =t, тогда
t^2+t-2<=0
t^2+t-2=0
D=1^2-4*(-2)=9
t1=(-1-3)/2=-2
t2=(-1+3)/2=1
(t+2)(t-1)<=0

______+_____[-2]_______-_____[1]_____+

t принадлежит [-2;1]
Делам обратную замену: log1/2(x)>=-2; log1/2(x)<=1
1) log1/2(x)>=-2
log1/2(x)>=log1/2(4)
x<=4
2)log1/2(x)<=1
log1/2(x)<=log1/2(1/2)
x>=1/2
Соединим все найденные множества решений с учетом ОДЗ:

_________(0)_______________
                   /////////////////////////////////

_______________[1/2]________
                                 ///////////////////

_____________________[4]_______
////////////////////////////////////////////
Ответ:х принадлежит [1/2; 4]

3)log8(x^2-4x+3)<1                  ОДЗ: x^2-4x+3>0; x<1; x>3
log8(x^2-4x+3)<log8(8)
x^2-4x+3<8
x^2-4x+3-8<0
x^2-4x-5<0
x^2-4x-5=0
D=(-4)^2- 4*(-5)=36
x1=(4-6)/2=-1
x2=(4+6)/2=5
(x+1)(x-5)<0
Х принадлежит (-1;5)
Ответ с учетом ОДЗ: (-1;1)U(3;5)