Question

Докажи, что значение выражения (x+y−2z)(y−x)−(y+z−2x)⋅(y−z)+(z+x−2y)(x−z)+10 не меняется при любых значениях переменных. ​

Answer 1

$(x+y-2z)(y-x)-(y+z-2x)(y-z)+(z+x-2y)(x-z)+10=\\\\\\=(x+y)(y-x)-2z(y-x)-(y+z)(y-z)+2x(y-z)+\\\\+(z+x)(x-z)-2y(x-z)+10=\\\\\\=y^2-x^2-2yz+2xz-y^2+z^2+2xy-2xz+x^2-z^2-2xy+2yz+10=10$

Так как все слагаемые, содержащие переменные, взаимно уничтожились и осталось только число 10, то получили выражение, не содержащее переменных, а значит, не зависящее от этих переменных. Поэтому при любых значениях переменных выражение не меняет своего значения .

Answer 2

Для доказательства, что данное выражение не изменяется при любых значениях переменных $x$, $y$, и $z$, мы можем воспользоваться свойствами алгебры и преобразованиями выражения. Давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

1. $(x+y-2z)(y-x)$:

   Раскроем скобки:

   $(x+y-2z)(y-x) = xy - x^2 + y^2 - xy - 2zy + 2xz$

   Заметим, что $xy$ и $-xy$ сокращаются, а также $x^2$ и $-x^2$, так что остаются только $y^2 - 2zy + 2xz$. Это выражение можно переписать в виде:

   $y^2 - 2zy + 2xz = y^2 - 2zy + 2xz + 0$

2. $(y+z-2x)(y-z)$:

   Раскроем скобки:

   $(y+z-2x)(y-z) = y^2 - yz + yz - z^2 - 2xy + 2xz$

   Снова видим, что $-yz$ и $yz$ сокращаются, а также $-2xy$ и $2xz$, оставляя только $y^2 - z^2$. Это можно переписать как:

   $y^2 - z^2 = y^2 - z^2 + 0$

3. $(z+x-2y)(x-z)$:

   Раскроем скобки:

   $(z+x-2y)(x-z) = xz - x^2 - z^2 + z^2 + 2xy - 2xy$

   Здесь также видно, что $-xz$ и $xz$, а также $-2xy$ и $2xy$ сокращаются, оставляя только $-x^2$. Это можно переписать как:

   $-x^2 = -x^2 + 0$

Теперь объединим все полученные результаты:

$(x+y-2z)(y-x) - (y+z-2x)(y-z) + (z+x-2y)(x-z) + 10 = (y^2 - 2zy + 2xz) - (y^2 - z^2) - (-x^2) + 10$

Сокращая схожие слагаемые и упрощая:

$y^2 - 2zy + 2xz - y^2 + z^2 + x^2 + 10$

$2xz - 2zy + z^2 - x^2 + 10$

Теперь заметим, что каждое слагаемое с отрицательным знаком можно записать с положительным знаком и наоборот. Таким образом, $2xz - 2zy + z^2 - x^2 = 2xz + 2zy - z^2 + x^2$, что эквивалентно исходному выражению.

Итак, мы доказали, что значение выражения $(x+y-2z)(y-x)-(y+z-2x)(y-z)+(z+x$ 0 0