Question

Найти первообразную 1) f(x) =3x^2+x-1 2) f(x) = sin (П/3-2x) 3) f(x) =e^2x

Answer 1

Ответ:

1.

$f(x) = 3 {x}^{2} +x - 1$

$f'(x) = 3 \times 2x + 1 = 6x + 1$

2.

$f(x) = \sin( \frac{\pi}{3} - 2x )$

$f'(x) = \cos( \frac{\pi}{3} - 2x ) \times ( \frac{\pi}{3} - 2x)' = \\ = - 2 \cos( \frac{\pi}{3} - 2x)$

3.

$f(x) = {e}^{2x}$

$f'(x) = {e}^{2x} \times (2x) '= 2 {e}^{2x}$

Answer 2

Давайте найдем первообразные для данных функций:

1. $f(x) = 3x^2 + x - 1$

Для нахождения первообразной этой функции, мы будем интегрировать каждый член по отдельности:

Интеграл $∫3x^2 dx$ равен $x^3$, так как $d/dx(x^3) = 3x^2$.

Интеграл $∫x dx$ равен $\frac{1}{2}x^2$, так как $d/dx(\frac{1}{2}x^2) = x$.

Интеграл $∫(-1) dx$ равен $-x$, так как $d/dx(-x) = -1$.

Теперь объединим эти результаты:

$∫(3x^2 + x - 1) dx = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + C$,

где $C$ - произвольная постоянная.

2. $f(x) = \sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$

Для нахождения первообразной этой функции, мы можем воспользоваться интегралом композиции функций:

$∫\sin(u) du = -\cos(u) + C$,

где $u = \frac{\pi}{3} - 2x$.

Теперь подставим $u$ обратно:

$∫\sin(\frac{\pi}{3} - 2x) dx = -\cos(\frac{\pi}{3} - 2x) + C$.

3. $f(x) = e^{2x}$

Интеграл $∫e^{2x} dx$ равен $\frac{1}{2}e^{2x}$, так как $d/dx(\frac{1}{2}e^{2x}) = e^{2x}$.

Итак, $∫e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$,

где $C$ - произвольная постоянная.