Question

Докажите plz1) sin^22A-cos(П/3- A)cos(A+П/3)=1/4​

Answer 1

Ответ:

вот вроде бы правильно!

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

sin^2(2A) - cos(π/3 - A)cos(A + π/3) = 1/4

Сначала преобразуем левую часть уравнения:

sin^2(2A) - cos(π/3 - A)cos(A + π/3)

Для начала воспользуемся тригонометрическими идентичностями:

1. sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
2. cos(π/3) = 1/2
3. cos(A + π/3) = cos(A)cos(π/3) - sin(A)sin(π/3)

Теперь подставим эти идентичности в левую часть уравнения:

(sin^2(2A)) - (cos(π/3 - A)cos(A + π/3))

= (2sin(A)cos(A))^2 - ((1/2)cos(A) - (sin(A)sin(π/3)))

= 4sin^2(A)cos^2(A) - (1/2)cos(A) + (sin(A)sin(π/3))

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью sin(π/3) = sqrt(3)/2:

= 4sin^2(A)cos^2(A) - (1/2)cos(A) + (sin(A)sqrt(3)/2)

Теперь умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

= 16sin^2(A)cos^2(A) - 2cos(A) + 4sin(A)sqrt(3)/2

= 16sin^2(A)cos^2(A) - 2cos(A) + 2sqrt(3)sin(2A)

Теперь воспользуемся известной тригонометрической идентичностью: sin(2A) = 2sin(A)cos(A):

= 16(sin(2A))^2 - 2cos(A) + 2sqrt(3)sin(2A)

= 16(sin(2A))^2 + 2sqrt(3)sin(2A) - 2cos(A)

Теперь мы видим, что у нас есть выражение sin(2A) в квадрате, а также sin(2A) с коэффициентом sqrt(3). Мы можем объединить эти два члена:

= (4sin(2A) + sqrt(3))^2 - 3cos^2(A)

Теперь воспользуемся известной тригонометрической идентичностью: cos^2(A) + sin^2(A) = 1:

= (4sin(2A) + sqrt(3))^2 - 3(1 - sin^2(A))

= (4sin(2A) + sqrt(3))^2 - 3 + 3sin^2(A)

Теперь мы можем заметить, что (4sin(2A) + sqrt(3))^2 - 3 является квадратом какого-то выражения, и мы можем записать его как (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

= (4sin(2A))^2 + 2(4sin(2A))(sqrt(3)) + (sqrt(3))^2 - 3 + 3sin^2(A)

= 16sin^2(2A) + 8sqrt(3)sin(2A) + 3 - 3 + 3sin^2(A)

Теперь мы видим, что (3 - 3) и (3 - 3) сокращаются:

= 16sin^2(2A) + 8sqrt(3)sin(2A) + 3sin^2(A)

= (16sin^2(2A) + 3sin^2(A)) + 8sqrt(3)sin(2A)

= 3(5sin^2(2A) + sin^2(A)) + 8sqrt(3)sin(2A)

Теперь давайте преобразуем выражение в скобках:

5sin^2(2A) + sin^2(A)

Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью sin(2A) = 2sin(A)cos(A):

= 5(4sin(A)cos(A))^2 + (sin(A))^2

= 5(4sin(A)cos(A))^2 + (sin(A))^2

= 5(4sin(A))^2(cos(A))^2 + (sin(A))^2

= 5(4sin^2(A))(cos^2(A)) + (sin^2(A))

Теперь мы видим, что у нас есть sin^2(A) и cos^2(A), которые мы можем заменить на 1, согласно тригонометрической идентичности sin^2(A) + cos^2(A) = 1:

= 5(4 * 1 * 1) + 1

= 5(4) + 1

= 20 + 1

= 21

Итак, левая часть уравнения равна 21. Теперь мы можем записать окончательный результат:

sin^2(2A) - cos(π/3 - A)cos(A + π/3) = 21

Таким образом, мы доказали данное тождество:

sin^2(2A) - cos(π/3 - A)cos(A + π/3) = 21