Question

Упростите выражение (sin a-sin b)^2 + (cos a-cos b)^2

Answer 1

$(sin a-sin b)^2 + (cos a-cos b)^2=$

$=sin^2 a-2sina*sinb+sin ^2b + cos^2 a-2cosa*cosb+cos^2 b=$

$=(sin^2 a+cos^2a)+(sin ^2b +cos^2b)-(2sina*sinb+2cosa*cosb)=$

$=1+1-2(sina*sinb+cosa*cosb)=$

(Воспользуемся формулой косинуса разности $cos(\alpha -\beta) = cos\alpha*cos\beta + sin\alpha*sin\beta$)

$=2-2cos(a-b)$

Ответ:  $2-2cos(a-b)$

Answer 2

Давайте упростим данное выражение.

Используем тригонометрические тождества:

1. $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ - тождество Пифагора для синуса и косинуса.
2. $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ - выразим квадрат синуса через косинус.

Теперь применим эти тождества к каждому из слагаемых в вашем выражении:

$(\sin(a) - \sin(b))^2 + (\cos(a) - \cos(b))^2$

$(\sin(a)^2 - 2\sin(a)\sin(b) + \sin(b)^2) + (\cos(a)^2 - 2\cos(a)\cos(b) + \cos(b)^2)$

Теперь заменяем $\sin^2(x)$ на $1 - \cos^2(x)$ и приводим подобные слагаемые:

$(1 - \cos^2(a) - 2\sin(a)\sin(b) + 1 - \cos^2(b)) + (1 - \cos^2(a) - 2\cos(a)\cos(b) + 1 - \cos^2(b))$

Теперь раскроем скобки:

$2 - 2\cos^2(a) - 2\cos^2(b) - 2\sin(a)\sin(b) - 2\cos(a)\cos(b) + 2\cos^2(a) + 2\cos^2(b) - 2\cos(a)\cos(b) + 2 - 2\cos^2(a) - 2\cos^2(b) + 2\cos(a)\cos(b)$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$2 + 2 - 2\cos^2(a) - 2\cos^2(b) - 2\cos^2(a) - 2\cos^2(b) + 2\cos^2(a) + 2\cos^2(b) - 2\sin(a)\sin(b) - 2\cos(a)\cos(b) + 2\cos(a)\cos(b)$

И, наконец, сократим подобные члены:

$4 - 2\sin(a)\sin(b)$

Итак, упрощенное выражение:

$4 - 2\sin(a)\sin(b)$