Question

X/(sin^2x) dx решить интегралл

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения интеграла ∫(x / sin^2(x)) dx, можно воспользоваться методом интегрирования по частям и заменой.

Интегрирование по частям: ∫u dv = uv - ∫v du,

где: u = x, dv = dx, du = dx, v = ∫(1 / sin^2(x)) dx.

Теперь вычислим значения u и dv: u = x, dv = dx.

Теперь найдем du и v: du = dx, v = ∫(1 / sin^2(x)) dx.

Для вычисления ∫(1 / sin^2(x)) dx, воспользуемся заменой. Пусть t = tan(x/2), тогда dt = (1/2) * sec^2(x/2) dx.

Мы знаем, что sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2, и cos(2x) = (1 - tan^2(x/2)) / (1 + tan^2(x/2)), поэтому sin^2(x) = 1 / (1 + tan^2(x/2)).

Теперь заменяем sin^2(x) и dx в интеграле: ∫(1 / sin^2(x)) dx = ∫(1 / (1 + tan^2(x/2))) * 2 * dt = 2 * ∫(1 / (1 + t^2)) dt.

Интеграл ∫(1 / (1 + t^2)) dt известен и равен arctan(t) + C.

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу: ∫(x / sin^2(x)) dx = x * (arctan(t)) + C = x * (arctan(tan(x/2))) + C.

Теперь преобразуем arctan(tan(x/2)). Функция arctan(tan(x/2)) равна x/2 для всех x, кроме случаев, когда x находится вне интервала [-π/2, π/2]. Вне этого интервала функция arctan(tan(x/2)) равна x/2 + π/2 или x/2 - π/2, в зависимости от знака x.

Таким образом, интеграл ∫(x / sin^2(x)) dx равен: x/2 + C, если x принадлежит интервалу [-π/2, π/2], x/2 + π/2 + C, если x > π/2, x/2 - π/2 + C, если x < -π/2.

Где C - постоянная интеграции.