Question

Докажите что при любом натуральном n значение выражения (3n^2+2)^2-4^2 кратно 3 помогитееее пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

(3n^2+2)^2-4^2 = 9n⁴+12n²+4-16= 9n⁴+12n²-12=n²(9n²+12)-12

натуральное число, это 1,2,3...928... и до бесконечности

подставим n=1 , 1(9+12)-12 = 9

9:3 =3

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом математической индукции для любого натурального числа n.

1. База индукции: Проверим, выполняется ли утверждение для n = 1.

   Выражение при n = 1 равно: (3 * 1^2 + 2)^2 - 4^2 = (3 + 2)^2 - 4^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9.

   Заметим, что 9 кратно 3, так как 9 = 3 * 3. Таким образом, база индукции верна для n = 1.

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е., (3k^2 + 2)^2 - 4^2 кратно 3.

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение также верно для k + 1.

   Рассмотрим выражение при n = k + 1: (3(k + 1)^2 + 2)^2 - 4^2

   Раскроем скобки и упростим: (3(k^2 + 2k + 1) + 2)^2 - 4^2 (3k^2 + 6k + 3 + 2)^2 - 4^2 (3k^2 + 6k + 5)^2 - 4^2

   Теперь рассмотрим разность этого выражения и выражения для k: [(3k^2 + 6k + 5)^2 - 4^2] - [(3k^2 + 2)^2 - 4^2]

   Вынесем общие члены и упростим: (3k^2 + 6k + 5)^2 - (3k^2 + 2)^2 [(3k^2 + 6k + 5) + (3k^2 + 2)][(3k^2 + 6k + 5) - (3k^2 + 2)] (6k^2 + 6k + 7)(3k^2 + 6k + 3)

   Теперь давайте рассмотрим эти множители по отдельности: 6k^2 + 6k + 7 кратно 3, так как каждый член кратен 3. 3k^2 + 6k + 3 также кратно 3, так как каждый член кратен 3.

   По свойству произведения чисел: если оба множителя кратны 3, то и их произведение кратно 3.

   Таким образом, (6k^2 + 6k + 7)(3k^2 + 6k + 3) кратно 3.

   Итак, мы показали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1.

Так как утверждение верно для n = 1 (база индукции), и мы доказали, что если оно верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1 (индукционный переход), то оно верно для всех натуральных чисел n.