Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке:f(x)=2x²-8/x+3,[-5;1] ​ решать функцию.

Answer 1

$f(x)=\frac{2x^2-8}{x+3} \\ \\ f'(x)=(\frac{2x^2-8}{x+3} )'=\frac{(2x^2-8)'\cdot(x+3) - (2x^2-8)\cdot (x+3)'}{(x+3)^2} =\frac{4x\cdot (x+3)-(2x^2-8)\cdot 1}{(x+3)^2}=\frac{4x^2+12x-2x^2+8}{(x+3)^2}=\\ \\ = \frac{2x^2+12x+8}{(x+3)^2}=\frac{2\cdot (x^2+6x+4)}{(x+3)^2} \\ \\ x\neq -3 \\ \\ x^2+6x+4=0 \\ \\ x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\frac{-6\pm\sqrt{36-16}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{4\cdot 5}}{2}=\frac{-6\pm2\sqrt{5}}{2}=-3\pm\sqrt{5}$

$-5$

$-5$

корень не принадлежит промежутку [-5;1]

$f(-3+\sqrt{5})=\frac{2\cdot(-3+\sqrt{5})^2-8}{-3+\sqrt{5}+3}=\frac{2\cdot(9-6\sqrt{5}+5)-8}{\sqrt{5}}=\frac{28-12\sqrt{5}-8}{\sqrt{5}}=\frac{20-12\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \\ \\ =\frac{\sqrt{5}\cdot (20-12\sqrt{5})}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{20\sqrt{5}-12\cdot 5}{5}=\frac{20\sqrt{5}-60}{5}=\frac{20\cdot (\sqrt{5}-3)}{5}=4\cdot (\sqrt{5}-3)$

$f(-5)=\frac{2\cdot(-5)^2-8}{-5+3}=\frac{50-8}{-2}=-\frac{42}{2}=-21 \\ \\ f(1)=\frac{2\cdot 1^2-8}{1+3}=\frac{2-8}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$

$-21$

$\max\limits_{[-5;1]}{f(x)}=f(1)=-\frac{3}{2} \\ \\ \min\limits_{[-5;1]}{f(x)}=f(-5)=-21$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x + 3}$ на промежутке $[-5, 1]$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Решите уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек.
3. Оцените значение $f(x)$ в найденных критических точках и концах интервала $[-5, 1]$ для определения наибольшего и наименьшего значения.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$:

$f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x + 3}$

Используя правило дифференцирования частного, получим:

$f'(x) = \frac{(2x^2 - 8)'(x + 3) - (2x^2 - 8)(x + 3)'}{(x + 3)^2}$

Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{(4x)(x + 3) - (2x^2 - 8)}{(x + 3)^2}$

$f'(x) = \frac{4x^2 + 12x - 2x^2 + 8}{(x + 3)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 + 12x + 8}{(x + 3)^2}$

Шаг 2: Решим уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек:

$2x^2 + 12x + 8 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 6x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его:

$(x + 2)(x + 2) = 0$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: $x = -2$.

Шаг 3: Оценим значение функции $f(x)$ в найденных критических точках и на концах интервала:

a) $x = -5$: $f(-5) = \frac{2(-5)^2 - 8}{-5 + 3} = \frac{50 - 8}{-2} = -21$

b) $x = -2$: $f(-2) = \frac{2(-2)^2 - 8}{-2 + 3} = \frac{8 - 8}{1} = 0$

c) $x = 1$: $f(1) = \frac{2(1)^2 - 8}{1 + 3} = \frac{2 - 8}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь у нас есть значения функции на концах интервала и в критической точке:

Наименьшее значение: $f(-2) = 0$

Наибольшее значение: $f(-5) = -21$

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ на интервале $[-5, 1]$ равно 0, а наибольшее значение равно -21.