Question

Алгебра Помогите решить срочно!!!!!!!!!! докажите что функция y=x/2x^2-1 монотонно убывает на каждом интервале,входящем в область определения

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x/(2x²-1)

2x²-1≠0

x≠±1/√2

y'=(2x²-1-x*4x)/(2x²-1)²=y'=(2x²-1-4x²)/(2x²-1)²=(-6x²-1)/(2x²-1)²=

=-(6x²+1)/(2x²-1)² <0 ∀ x∈D(y)

⇒  функция y=x/2x^2-1 монотонно убывает на каждом интервале,входящем в область определения

Answer 2

Для доказательства монотонного убывания функции y = x / (2x^2 - 1) на каждом интервале, входящем в ее область определения, нам необходимо найти производную этой функции и определить ее знак.

Сначала найдем производную функции y по x:

y = x / (2x^2 - 1)

Для упрощения вычислений преобразуем функцию:

y = x * (2x^2 - 1)^(-1)

Теперь используем правило производной для произведения:

y' = x * [(-1) * (2x^2 - 1)^(-2) * 4x] + (2x^2 - 1)^(-1)

Упростим это выражение:

y' = -4x^2 / (2x^2 - 1)^2 + (2x^2 - 1)^(-1)

Теперь давайте определим, когда производная y' положительна и когда отрицательна. Если y' > 0, то функция y убывает на соответствующем интервале, иначе она возрастает.

1. Рассмотрим интервалы в области определения функции:

   a) x < -1: В этом интервале (2x^2 - 1) < 0, поэтому (2x^2 - 1)^2 > 0. Следовательно, -4x^2 < 0, и (2x^2 - 1)^(-1) > 0. Таким образом, y' > 0, и функция y убывает на интервале x < -1.

   b) -1 < x < 0: В этом интервале (2x^2 - 1) < 0, поэтому (2x^2 - 1)^2 > 0. Следовательно, -4x^2 < 0, и (2x^2 - 1)^(-1) > 0. Таким образом, y' > 0, и функция y убывает на интервале -1 < x < 0.

   c) 0 < x < 1: В этом интервале (2x^2 - 1) > 0, поэтому (2x^2 - 1)^2 > 0. Следовательно, -4x^2 < 0, и (2x^2 - 1)^(-1) > 0. Таким образом, y' > 0, и функция y убывает на интервале 0 < x < 1.

   d) x > 1: В этом интервале (2x^2 - 1) > 0, поэтому (2x^2 - 1)^2 > 0. Следовательно, -4x^2 < 0, и (2x^2 - 1)^(-1) > 0. Таким образом, y' > 0, и функция y убывает на интервале x > 1.

Итак, функция y = x / (2x^2 - 1) монотонно убывает на каждом интервале, входящем в ее область определения.