Question

Знайдіть перший член геометричної прогресії (bn) і номер n, якщо:bn=6, Sn=90, g=0,5.​

Answer 1

Ответ:

...................................

Answer 2

Для знаходження першого члена геометричної прогресії та номеру n, потрібно врахувати відомі значення:

1. bₙ (поточний член прогресії) = 6
2. Sₙ (сума перших n членів прогресії) = 90
3. q (значення знаменника прогресії) = 0,5

Сума перших n членів геометричної прогресії обчислюється за формулою: $S_n = \dfrac{b_1 \times (1 - q^n)}{1 - q}$

Ми знаємо Sₙ (90) і q (0,5), тому ми можемо вирішити цю рівняння для n: $90 = \dfrac{b_1 \times (1 - 0,5^n)}{1 - 0,5}$

Розгорнемо це рівняння: $90 = 2 \times b_1 \times (1 - 0,5^n)$

Тепер знаходження n: $1 - 0,5^n = \dfrac{90}{2 \times b_1}$ $0,5^n = 1 - \dfrac{90}{2 \times b_1}$ $n \times \log(0,5) = \log\left(1 - \dfrac{90}{2 \times b_1}\right)$ $n = \dfrac{\log\left(1 - \dfrac{90}{2 \times b_1}\right)}{\log(0,5)}$

Тепер вставимо значення b₁ (6) та розрахуємо n: $n = \dfrac{\log\left(1 - \dfrac{90}{2 \times 6}\right)}{\log(0,5)}$ $n \approx \dfrac{\log(1 - 7,5)}{\log(0,5)}$ $n \approx \dfrac{\log(-6,5)}{\log(0,5)}$

Враховуючи, що логарифм від від'ємного числа невизначений у дійсних числах, n буде великим числом (скоріше за все, недодатнім). Отже, нам не вдасться знайти значуще значення для n за цими даними.

Щоб вирішити цю проблему, давайте спробуємо скористатися іншим підходом. Якщо ми знаємо загальний вираз для суми перших n членів геометричної прогресії, можна знайти n:

$S_n = b_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Ми знаємо Sₙ (90), b₁ (6) і q (0,5), тож ми можемо вирішити цю рівняння для n:

$90 = 6 \times \dfrac{1 - 0,5^n}{1 - 0,5}$ $90 = 12 \times (1 - 0,5^n)$ $1 - 0,5^n = \dfrac{90}{12}$ $0,5^n = 1 - \dfrac{15}{2}$ $0,5^n = -\dfrac{13}{2}$

Отже, ми отримали від'ємне значення у правій частині, що не має реального змісту у відомих нам областях реальних чисел. Таким чином, неможливо знайти значуще значення для n з цими даними.