Question

Знайдіть значення похідної функції f(x)=x sin x у точці хо=π\ 2​

Answer 1

$f(x) = x \sin(x)$

$f'(x) = (x \sin(x) )' = (x)' \sin(x) + x( \sin(x) )' = \sin(x) + x \cos(x)$

$f'( \frac{\pi}{2} ) = \sin( \frac{\pi}{2} ) + \frac{\pi}{2} \cos( \frac{\pi}{2} ) = 1 + \frac{\pi}{2} \times 0 = 1$

Відповідь: 1.

Answer 2

Щоб знайти значення похідної функції $f(x) = x \sin(x)$ в точці $x_0 = \frac{\pi}{2}$, ми спочатку знайдемо похідну цієї функції та обчислимо її в точці $x_0$.

Похідна добутку двох функцій $u(x) \cdot v(x)$ обчислюється за допомогою правила диференціювання добутку:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

У нашому випадку $u(x) = x$ і $v(x) = \sin(x)$. Тоді:

$u' = 1$ (похідна $x$ за $x$ - це 1) $v' = \cos(x)$ (похідна $\sin(x)$ за $x$)

Тепер ми можемо знайти похідну функції $f(x) = x \sin(x)$:

$f'(x) = (x)' \cdot \sin(x) + x \cdot (\sin(x))' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x)$

Тепер ми можемо обчислити значення похідної в точці $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$

За відомими значеннями $\sin(\pi/2) = 1$ і $\cos(\pi/2) = 0$, отримуємо:

$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \cdot 1 + \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 1 + 0 = 1$

Отже, значення похідної функції $f(x) = x \sin(x)$ в точці $x_0 = \frac{\pi}{2}$ дорівнює 1.