Question

2. неравенство (х - а)(2х + 1)(х + b) > 0 имеет решение ( -1/2; -1) ∪ (3; +∞ ). найдите значения a, b.​

Answer 1

Ответ:

$(x-a)(2x+1)(x+b)>0\\\\x\in (-\frac{1}{2};1)\cup (3;+\infty )\ \ \Rightarrow\ \ \ ---(-\frac{1}{2})+++(1)---(3)+++\ \ \Rightarrow \\\\(x+\frac{1}{2})(2x+1)(x-3)>0\\\\a)\ \ x-a=x+\frac{1}{2}\ \ ,\ \ -a=0,5\ \ ,\ \ a=-0,5\\\\{}\ \ \ \ x+b=x-3\ \ ,\ \ b=-3\\\\b)\ \ x-a=x-3\ \ ,\ \ -a=-3\ \ ,\ \ a=3\\\\{}\ \ \ \ x+b=x+\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=0,5\\\\Otvet:\ \ a)\ a=-0,5\ ,\ b=-3\ \ \ \ ili\ \ \ \ b)\ a=3\ ,\ b=0,5\ .$

Answer 2

Для неравенства $(x - a)(2x + 1)(x + b) > 0$, нам известно, что у него есть два интервала решений: $(-1/2, -1)$ и $(3, +\infty)$.

Чтобы найти значения $a$ и $b$, мы можем использовать информацию о решениях неравенства и свойствах функций. Рассмотрим каждый интервал решений по отдельности:

1. Интервал $(-1/2, -1)$: В этом интервале все три множителя $(x - a)$, $(2x + 1)$ и $(x + b)$ должны иметь одинаковые знаки (положительные или отрицательные), чтобы произведение было положительным. Мы видим, что интервал $(-1/2, -1)$ лежит между корнями многочлена $2x + 1 = 0$, который равен $-1/2$. Таким образом, этот многочлен положителен при $x < -1/2$.

   Теперь мы можем рассмотреть множители $(x - a)$ и $(x + b)$. В интервале $(-1/2, -1)$, оба множителя должны иметь одинаковые знаки, и они должны быть отрицательными, так как $(2x + 1)$ положителен. Следовательно, $x - a < 0$ и $x + b < 0$.

2. Интервал $(3, +\infty)$: В этом интервале все три множителя также должны иметь одинаковые знаки (положительные или отрицательные). Поскольку этот интервал находится справа от корня $2x + 1 = 0$, который равен $-1/2$, то множитель $(2x + 1)$ положителен в этом интервале.

   Рассмотрим множители $(x - a)$ и $(x + b)$ в интервале $(3, +\infty)$. Они также должны иметь одинаковые знаки, и они должны быть положительными, так как $(2x + 1)$ положителен. Следовательно, $x - a > 0$ и $x + b > 0$.

Теперь у нас есть система неравенств для обоих интервалов:

1. В интервале $(-1/2, -1)$:

   • $x - a < 0$
   • $x + b < 0$

2. В интервале $(3, +\infty)$:

   • $x - a > 0$
   • $x + b > 0$

Чтобы найти значения $a$ и $b$, давайте рассмотрим, какие значения $a$ и $b$ удовлетворяют обоим этим системам неравенств.

В интервале $(-1/2, -1)$:

• Чтобы удовлетворить $x - a < 0$, $a$ должно быть больше чем -1.
• Чтобы удовлетворить $x + b < 0$, $b$ должно быть меньше чем -1.

В интервале $(3, +\infty)$:

• Чтобы удовлетворить $x - a > 0$, $a$ должно быть меньше чем $x$, и так как $x$ в этом интервале положительное, $a$ должно быть отрицательным.
• Чтобы удовлетворить $x + b > 0$, $b$ должно быть меньше чем $x$, и так как $x$ в этом интервале положительное, $b$ также должно быть отрицательным.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

• $a > -1$
• $b < -1$
• $a < 0$
• $b < 0$

Теперь мы можем найти значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этим условиям. Например, $a = -1/2$ и $b = -2$ удовлетворяют всем этим условиям.

Итак, значения $a$ и $b$, которые соответствуют решению $(x - a)(2x + 1)(x + b) > 0$ в интервалах $(-1/2, -1)$ и $(3, +\infty)$, могут быть $a = -1/2$ и $b = -2$.