Question

Докажите, что функция y=f(x) является возрастающей: a)y=x^3+x b) y=-4/x пж

Answer 1

Ответ:

доказательства на листе

Answer 2

Для доказательства того, что функция $y = f(x)$ является возрастающей, нужно показать, что при увеличении аргумента $x$ значение функции тоже увеличивается.

Доказательство для $y = x^3 + x$:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 + 1$

2. Если производная положительна для всех $x$, то функция является возрастающей.

3. Посмотрим знак производной: $3x^2 + 1 > 0$

   Данное уравнение верно для всех $x$, так как $3x^2$ всегда положительно, и прибавление 1 не изменяет знак. Таким образом, производная положительна для всех $x$, и, следовательно, функция $y = x^3 + x$ является возрастающей.

Доказательство для $y = -\frac{4}{x}$:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{4}{x^2}$

2. Аналогично, если производная положительна для всех $x$, то функция является возрастающей.

3. Посмотрим знак производной: $\frac{4}{x^2} > 0$

   Знаменатель $x^2$ всегда положителен (квадрат числа всегда неотрицателен), и деление положительного числа на положительное дает положительный результат. Таким образом, производная положительна для всех $x$, и функция $y = -\frac{4}{x}$ также является возрастающей.

Таким образом, обе функции $y = x^3 + x$ и $y = -\frac{4}{x}$ являются возрастающими.