Question

Периметр прямоугольника равен 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника равна 89см². найдите стороны этого прямоугольника

Answer 1

Ответ: длина 10 см, ширина 4 см.

Answer 2

Обозначим стороны прямоугольника через $a$ и $b$, где $a$ - длина, а $b$ - ширина. Тогда периметр прямоугольника равен $2a + 2b$, и у нас есть следующее уравнение:

$2a + 2b = 26.$

Также у нас есть условие относительно площадей квадратов:

$a^2 + b^2 = 89.$

Мы можем решить систему из этих двух уравнений. Однако, для упрощения процесса, давайте воспользуемся фактом, что сумма квадратов двух чисел $(a^2 + b^2)$ равна квадрату суммы этих чисел $(a + b)^2$ минус удвоенное произведение этих чисел $(2ab)$. Таким образом:

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.$

Подставим это в уравнение с суммой площадей квадратов:

$89 = (a + b)^2 - 2ab.$

Теперь у нас есть два уравнения:

2a + 2b &= 26, \\ (a + b)^2 - 2ab &= 89. \end{align*}\] Решим первое уравнение относительно одной переменной и подставим второе: \[a + b = 13.\] Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[(13)^2 - 2ab = 89.\] Решим это уравнение относительно \(ab\): \[169 - 2ab = 89.\] \[2ab = 80.\] \[ab = 40.\] Теперь у нас есть два уравнения: \[\begin{align*} a + b &= 13, \\ ab &= 40. \end{align*}\] Решив эту систему уравнений, найдем значения \(a\) и \(b\). Одно из возможных решений - \(a = 8\) и \(b = 5\). Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см.