Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції проміжку : 1)y=4x/x^2+1 [-2;4]​

Answer 1

Мин у=4*(-2)/(-2)^2+1 у=-8/5 у=-1,6
Макс у=4*4/4^2+1 у=16/17

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$ на проміжку $[-2, 4]$, спершу знайдемо похідну цієї функції та знайдемо її критичні точки. Потім визначимо значення функції в цих точках і на кінцях проміжку, і визначимо, яке з них найбільше та найменше.

Спершу знайдемо похідну $y$:

$y = \frac{4x}{x^2 + 1}$

Використовуючи правило диференціювання частки, отримаємо:

$y' = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2}$

Далі знайдемо критичні точки, рівні $y' = 0$:

$\frac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} = 0$

$-4x^2 + 4 = 0$

$4x^2 = 4$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Тепер знайдемо значення функції в цих критичних точках та на кінцях проміжку $[-2, 4]$:

1. $y(-2)$: $y(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2 + 1} = \frac{-8}{4 + 1} = \frac{-8}{5}$
2. $y(1)$: $y(1) = \frac{4(1)}{(1)^2 + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$
3. $y(4)$: $y(4) = \frac{4(4)}{(4)^2 + 1} = \frac{16}{16 + 1} = \frac{16}{17}$

Тепер визначимо найбільше та найменше значення серед цих значень:

Найбільше значення: $y(4) = \frac{16}{17}$

Найменше значення: $y(-2) = \frac{-8}{5}$

Отже, найбільше значення функції на проміжку $[-2, 4]$ - це $\frac{16}{17}$, а найменше значення - $\frac{-8}{5}$.