Question

Знайдіть екстремуми функції y=x^3-6x^2

Answer 1

область определения - (-∞;+∞)

у'=(х³-6х²)'=3х²-2*6х=3х*(х-4), найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.

3х*(х-4)=0⇒х=0; х=4, определим знаки производной при переходе через стационарные точки

_______0____________4____________

 +                        -                          +

Значит х=0- точка максимума и максимум функции равен у(0)=0

х=4-точка минимума, минимум функции равен у(4)=4³-6*4²=

4²*(4-6)=16*(-2)=-32,

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції $y = x^3 - 6x^2$, спочатку знайдемо її похідну і прирівняємо її до нуля, оскільки екстремуми відбуваються в точках, де похідна рівна нулю. Похідна функції $y = x^3 - 6x^2$ обчислюється так:

$y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2)$

Знаходження похідної:

$y' = 3x^2 - 12x$

Тепер прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо рівняння для знаходження критичних точок:

$3x^2 - 12x = 0$

Ділимо обидві сторони на 3:

$x^2 - 4x = 0$

Тепер факторизуємо це рівняння:

$x(x - 4) = 0$

Отже, ми маємо дві можливі значення $x$:

1. $x = 0$
2. $x = 4$

Ці значення $x$ вказують на можливі критичні точки, де функція може мати екстремуми. Тепер перевіримо значення функції $y$ в цих точках:

1. Для $x = 0$: $y(0) = 0^3 - 6 * 0^2 = 0$

2. Для $x = 4$: $y(4) = 4^3 - 6 * 4^2 = 64 - 96 = -32$

Отже, функція має критичний максимум в точці $x = 0$ та критичний мінімум в точці $x = 4$. Значення цих екстремумів дорівнюють відповідно $y = 0$ та $y = -32$.