Question

Вычислить (√(3)-i)^60

Answer 1

$(\sqrt{3}-i)^{60}$

Для возведения комплексного числа в степень удобно использовать формулу Муавра:

$(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$

Соответственно представим число в тригонометрической форме:

$|z|=\sqrt{(\sqrt{3} )^2+(-1)^2} =2$

$\arg z=\mathrm{arctg}\dfrac{-1}{\sqrt{3} } =-\dfrac{\pi}{6}$

Тогда:

$\sqrt{3} -i=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)\right)$

Получаем выражение:

$\left(2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)\right)\right)^{60}=2^{60}\left(\cos\left(-\dfrac{60\pi}{6} \right)+i\sin\left(-\dfrac{60\pi}{6} \right)\right)=$

$=2^{60}\left(\cos\left(-10\pi \right)+i\sin\left(-10\pi\right)\right)=2^{60}\left(\cos0+i\sin0\right)=2^{60}\left(1+i\cdot0\right)=2^{60}$

Итак:

$\boxed{(\sqrt{3}-i)^{60}= 2^{60}}$

Answer 2

Для вычисления выражения ($\sqrt{3} - i$^{60}), мы можем воспользоваться формулой Бинома Ньютона и далее использовать свойства комплексных чисел. Формула Бинома Ньютона выглядит следующим образом:

$$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} b^k,$$

где $a = \sqrt{3}$, $b = i$, и $n = 60$. Здесь $\binom{n}{k}$ - это биномиальный коэффициент.

Сначала давайте посчитаем биномиальные коэффициенты:

$$\binom{60}{0} = 1, \quad \binom{60}{1} = 60, \quad \binom{60}{2} = \frac{60 \cdot 59}{2} = 1770, \quad \binom{60}{3} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58}{3 \cdot 2} = 34,220, \quad \ldots$$

Теперь мы можем использовать формулу Бинома Ньютона:

$$(\sqrt{3} - i)^{60} = \sum_{k=0}^{60} (-1)^k \binom{60}{k} (\sqrt{3})^{60-k} (i)^k$$

Поскольку $i^2 = -1$, то $(i^2)^{30} = (-1)^{30} = 1$, и поэтому $(\sqrt{3})^{60-k} (i)^k = (\sqrt{3})^{60-k}$ при четных значениях $k$, и $(\sqrt{3})^{60-k} (i)^k = -(\sqrt{3})^{60-k}$ при нечетных значениях $k$.

Теперь подставим все это в формулу:

$$\begin{align*} (\sqrt{3} - i)^{60} &= \sum_{k=0}^{60} (-1)^k \binom{60}{k} (\sqrt{3})^{60-k} (i)^k \\ &= \binom{60}{0} (\sqrt{3})^{60} - \binom{60}{1} (\sqrt{3})^{59} + \binom{60}{2} (\sqrt{3})^{58} - \binom{60}{3} (\sqrt{3})^{57} + \ldots \end{align*}$$