Question

Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума (минимум, максимум) f(x) =2x^3-9x^2-12*x+7f(x) =(x^2-3x):(x+1)Помогите,пожалуйста,очень надо​

Answer 1

Ответ:

Ответ на фото

Объяснение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции:

1) Находим производную функции

2) Приравниваем её к нулю и находим корни

3) Методом интервалов определяем знаки

4) На интервалах, где f'(x) > 0, f(x) возрастает, а на тех интервалах, где f'(x) < 0, f(x) убывает

5) Точки максимума - те значения x, cлева от которых производная больше нуля, а справа - меньше

6) Точки минимума - те значения x, слева от которых производная меньше нуля, а справа - больше

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума для данных функций, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Исследуйте знак производной f'(x) в каждом промежутке между критическими точками, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.
4. Определите, являются ли критические точки точками экстремума, и если да, то определите, являются ли они минимумами или максимумами.

Давайте начнем с первой функции:

1. f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 12x + 7

Найдем производную f'(x):

f'(x) = 6x^2 - 18x - 12

2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки:

6x^2 - 18x - 12 = 0

Упростим уравнение, разделим на 6:

x^2 - 3x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 2 и x = -1.

3. Исследуем знак производной f'(x) в каждом промежутке между критическими точками:

• Берем произвольное значение x < -1, например, x = -2: f'(-2) = 6(-2)^2 - 18(-2) - 12 = 24 + 36 - 12 = 48 > 0

• Берем значение x между -1 и 2, например, x = 0: f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) - 12 = -12 < 0

• Берем произвольное значение x > 2, например, x = 3: f'(3) = 6(3)^2 - 18(3) - 12 = 54 - 54 - 12 = -12 < 0

Теперь мы знаем, что f'(x) > 0 на интервале (-бесконечность, -1) и (2, +бесконечность), и f'(x) < 0 на интервале (-1, 2).

4. Определим точки экстремума:

• Поскольку f'(x) меняет знак с положительного на отрицательный при x = 2, это означает, что у нас есть локальный максимум при x = 2.

Таким образом, у функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 12x + 7 есть локальный максимум в точке (2, f(2)).

Теперь рассмотрим вторую функцию:

f(x) = (x^2 - 3x) / (x + 1)

Для этой функции выполним те же шаги:

1. Найдем производную f'(x):

f'(x) = [(x + 1)(2x - 3) - (x^2 - 3x)] / (x + 1)^2

f'(x) = (2x^2 - 3x + 2x - 3 - x^2 + 3x) / (x + 1)^2

f'(x) = (x^2 - 3) / (x + 1)^2

2. Решим уравнение f'(x) = 0:

(x^2 - 3) / (x + 1)^2 = 0

x^2 - 3 = 0

x^2 = 3

x = ±√3

Отсюда получаем две критические точки: x = √3 и x = -√3.

3. Исследуем знак производной f'(x) в каждом промежутке между критическими точками:

• Берем произвольное значение x < -√3, например, x = -4: f'(-4) = (-4^2 - 3) / (-4 + 1)^2 = (16 - 3) / (-3)^2 = 13 / 9 > 0

• Берем значение x между -√3 и √3, например, x = 0: f'(0) = (0^2 - 3) / (0 + 1)^2 = -3 / 1 = -3 < 0

• Берем произвольное значение x > √3, например, x = 4: f'(4) = (4^2 - 3) / (4 + 1)^2 = (16 - 3) / 25 = 13 / 25 > 0

Теперь мы знаем, что f'(x) > 0 на интервале (-бесконечность, -√3) и (√3, +бесконечность), и f'(x) < 0 на интервале (-√3, √3).

4. Определим точки экстремума:

• Поскольку f'(x) меняет знак с положительного на отрицательный при x = 0, это означает, что у нас есть локальный максимум при x = 0.

Таким образом, у функции f(x) = (x^2 - 3x) / (x + 1) есть локальный максимум в точке (0, f(0)).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.