Question

Решите уравнение (подробно, с объяснениями) sin2x=sinx+2cosx+1

Answer 1

Ответ:

x1 = 3Π/2 + 2Πn, n € Z

x2 ≈ 2arctg(6,28) + 2Πk, k € Z

Объяснение:

2sin x*cos x = sin x + 2cos x + 1

2sin x*cos x - 2cos x - sin x = 1

2cos x*(sin x - 1) - (sin x - 1) = 1 + 1

(sin x - 1)(2cos x - 1) = 2

Поменяем знаки в обоих скобках, тогда произведение не изменится, но каждая скобка станет положительной.

(1 - sin x)(1 - 2cos x) = 2

Делаем универсальную тригонометрическая подстановку.

tg (x/2) = t

sin x = 2t/(1+t^2)

cos x = (1-t^2)/(1+t^2)

(1 - 2t/(1+t^2)) * (1 - 2(1-t^2)/(1+t^2)) = 2

(1+t^2-2t)/(1+t^2) * (1+t^2-2+2t^2)/(1+t^2) = 2

(t^2-2t+1) * (3t^2 - 1) = 2(1+t^2)^2

3t^4 - 6t^3 + 3t^2 - t^2 + 2t - 1 = 2 + 4t^2 + 2t^4

t^4 - 6t^3 - 2t^2 + 2t - 3 = 0

t^4 + t^3 - 7t^3 - 7t^2 + 5t^2 + 5t - 3t - 3 = 0

(t+1)(t^3 - 7t^2 + 5t - 3) = 0

1) t1 = tg(x/2) = -1

x/2 = 3Π/4 + Πn, n € Z

x1 = 3Π/2 + 2Πn, n € Z

2) t^3 - 7t^2 + 5t - 3 = 0

Здесь корень иррациональный, можно найти приближением.

f(0) = -3 < 0

Все значения от f(0) до f(5) - отрицательны.

f(5) = 5^3 - 7*5^2 + 5*5 - 3 = 125 - 175 + 25 - 3 = -28 < 0

f(6) = 6^3 - 7*6^2 + 5*6 - 3 = 216 - 252 + 30 - 3 = -9 < 0

f(7) = 7^3 - 7*7^2 + 5*7 - 3 = 32 > 0

t2 € (6; 7)

Можно уточнить.

f(6,3) = (6,3)^3 - 7*(6,3)^2 + 5*6,3 - 3 = 0,717 > 0

f(6,2) = (6,2)^3 - 7*(6,2)^2 + 5*6,2 - 3 = -2,752 < 0

t2 € (6,2; 6,3)

f(6,28) = (6,28)^3 - 7*(6,28)^2 + 5*6,28 - 3 = 0,004352

Это уже очень близко к 0, поэтому можно считать:

t2 = tg(x/2) ≈ 6,28

x/2 ≈ arctg(6,28) + Πk, k € Z

x2 ≈ 2*arctg(6,28) + 2Πk, k € Z

Answer 2

Чтобы решить уравнение $\sin(2x) = \sin(x) + 2\cos(x) + 1$, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить его.

Шаг 1: Рассмотрим удвоенный угол $\sin(2x)$. Используем формулу для удвоенного угла:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x).$

Шаг 2: Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) + 2\cos(x) + 1.$

Шаг 3: Теперь преобразуем уравнение, чтобы выразить все тригонометрические функции через $\sin(x)$ и $\cos(x)$:

$2\sin(x)\cos(x) - \sin(x) - 2\cos(x) - 1 = 0.$

Шаг 4: Факторизуем выражение, выделяя общие множители:

$\sin(x)(2\cos(x) - 1) - (2\cos(x) + 1) = 0.$

Шаг 5: Теперь рассмотрим два члена отдельно и решим уравнения для каждого из них:

a) $\sin(x) = 0$.

Решение: $\sin(x) = 0$ имеет два основных решения на интервале $[0, 2\pi)$: $x = 0$ и $x = \pi$.

b) $2\cos(x) - 1 = 0$.

Решение: $2\cos(x) = 1$ => $\cos(x) = \frac{1}{2}$.

Решениями этого уравнения являются $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$ на интервале $[0, 2\pi)$.

Таким образом, общие решения уравнения $\sin(2x) = \sin(x) + 2\cos(x) + 1$ на интервале $[0, 2\pi)$ это $x = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.