Question

1.4. Найдите наименьший положительный период функции y = sin 2х × cos 2х А) пи В) пи/2С) 2пиД)4 пиОтвет с решением нужно Пожалуйста можете дать ответ .ДАМ 15 БАЛЛОВ ПЖ ​

Answer 1

Для начала упростим имеющееся выражение по формуле произведения синуса на косинус:

$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{\sin\left(\alpha + \beta\right) + \sin\left(\alpha - \beta\right)}{2}$

В нашем случае получается:

$\sin 2x\cdot\cos2x = \dfrac{\sin\left(2x + 2x\right) + \sin\left(2x - 2x\right)}{2} = \dfrac{\sin4x + \sin0}{2} = \boxed{\dfrac{\sin4x}{2}}$

Итак, от $y = \sin2x\cos2x$ мы перешли к  $y = \dfrac{\sin4x}{2}$ . Теперь будем рассматривать период. Говоря простым языком, период - это какое-то определённое значение, пройдя которое мы вернёмся в ту же самую точку, из которой начинали движение. Должно выполняться вот это равенство: $\underline{f(x) = f\left(x + T\right)}$ , где $T$ - это и есть этот период. В нашем случае получается вот так:

$\boxed{\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x + T\right)}{2}}$

Теперь есть два способа решения этого уравнения. Первый - это муторный и прямолинейный. Просто перенести всё в левую часть, далее через разность синусов и так медленно добираться до периода. Второй способ намного проще, но надо понимать, что происходит. Дело в том, что $T$ мы изменять не можем, так как это переменная, которую нам надо найти. Зато $x$ мы можем присвоить любое удобное нам значение. Он ни на что не влияет, равенство в рамке продолжает соблюдаться, поскольку мы заменим икс в обеих частях, но всё станет намного проще. Например, здесь удобнее взять $\boldsymbol{x = 0}$. Нам известно, что $\sin0 = 0$, и вся левая часть в него превратится. Получится вот так:

$\dfrac{\sin\left(4\cdot 0\right)}{2} = \dfrac{\sin4\left(0+T\right)}{2}\\\\\\\dfrac{\sin0}{2} = \dfrac{\sin4T}{2}\\\\\\\dfrac{\sin4T}{2} = 0$

Теперь просто решаем обычное тригонометрическое уравнение и находим $T$.

$\dfrac{\sin4T}{2} = 0\\\\\sin4T = 0\\\\4T = \pi k\\\\\\\boxed{T = \dfrac{\pi k}{4}}\ \ ,\, k\in\mathbb{Z}$

Итак, вот мы к этому и пришли. Возникает вопрос, что делать с $k$? В условии задания написано, что нужно найти наименьший положительный период данной функции. Так как $k\in\mathbb{Z}$, то $k = \{...\, ,-2,-1,0,1,2,...\}$. Положительное число должно быть больше нуля, и очевидно, что $\dfrac{\pi k}{4} > 0$  при $k \geqslant 1$. Поэтому подставляем наше первое значение: $k = 1$. При нём получаем:

$T_1 = \dfrac{\pi \cdot 1}{4} = \dfrac{\pi}{4}$

Но не стоит сразу радоваться. Сначала проверим период на соответствие равенству $f\left(x\right) = f\left(x+T_1\right)$.

$\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}\\\\\\\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin\left(4x +\pi\right)}{2}$

Согласно формуле приведения, $\sin\left(\pi + \alpha\right) = -\sin\alpha$, отсюда имеем:

$\dfrac{\sin4x}{2} = -\dfrac{\sin4x}{2}$

Равенство не выполнено, значит,  $\dfrac{\pi}{4}$ не является периодом данной функции. Проверяем дальше, $k = 2$.

$T_2 = \dfrac{\pi\cdot 2}{4} = \dfrac{\pi}{2}$

Точно так же подставляем в $f(x) = f\left(x + T_2\right)$.

$\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}{2}\\\\\\\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin\left(4x + 2\pi\right)}{2}$

По формуле приведения $\sin\left(2\pi + \alpha\right) = \sin\alpha$, поэтому:

$\boxed{\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4x}{2}}$

А потому $T_2 = \dfrac{\pi}{2}$  и является искомым периодом.

Ответ: В)

Answer 2

Для нахождения наименьшего положительного периода функции y = sin(2x) * cos(2x), мы должны найти значение x, при котором функция повторяется впервые после полного оборота.

Решение:

1. Найдем период функции sin(2x): - Период функции sin(2x) равен 2π/2 = π. Это происходит потому, что коэффициент перед x в sin(2x) равен 2, что в два раза увеличивает период обычной функции sin(x). - Таким образом, функция sin(2x) повторяется каждые π радиан.

2. Найдем период функции cos(2x): - Период функции cos(2x) также равен 2π/2 = π. Это происходит по той же причине, что и в случае функции sin(2x). - Таким образом, функция cos(2x) также повторяется каждые π радиан.

3. Найдем наименьший общий период для функции y = sin(2x) * cos(2x): - Наименьший общий период функции y = sin(2x) * cos(2x) будет равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов функций sin(2x) и cos(2x). - НОК(π, π) = π. - Таким образом, наименьший положительный период функции y = sin(2x) * cos(2x) равен π.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что наименьший положительный период функции y = sin(2x) * cos(2x) равен π.