Question

(a-b)×(a+5b)≤(2a+b)×(a+4b)+ab​

Answer 1

Відповідь:

(a-b)(a+5b)=a²-ab+5ab-5b²=a²+4ab-5b²

(2a+b)(a+4b)+ab=2a²+ab+8ab+4b²+ab=2a²+10ab+4b²

a²+4ab-5b²≤2a²+10ab+4b²

2a²+10ab+4b²-a²-4ab+5b²≥0

a²+6ab+9b²≥0

(a+3b)²≥0  при любих значеня b і a

Answer 2

Давайте разберем данное неравенство и попробуем его упростить.

У нас дано неравенство: \((a-b) \times (a+5b) \leq (2a+b) \times (a+4b) + ab\).

1. Раскроем скобки: \((a-b) \times (a+5b) = a^2 + 5ab - ab - 5b^2\), \((2a+b) \times (a+4b) = 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2\).

Теперь неравенство выглядит так: \[a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \leq 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab.\]

2. Упростим правую часть: \[a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \leq 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab.\] Сгруппируем подобные члены: \[a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \leq 3a^2 + 9ab + 5b^2.\]

3. Переносим все члены в одну сторону: \[0 \leq 2a^2 + 4ab + 6b^2.\]

4. Деление на 2 (для упрощения): \[0 \leq a^2 + 2ab + 3b^2.\]

5. Форма квадратного трехчлена: \[0 \leq (a + b)^2 + 2b^2.\]

Таким образом, данное неравенство может быть упрощено до \(0 \leq (a + b)^2 + 2b^2\).