Question

Олег выписал на доску несколько составных натуральных чисел, меньших 1700. Оказалось, что наибольший общий делитель любых двух из них равен 11. Какое наибольшее количество чисел мог выписать Олег?

Answer 1

Ответ:

1661

Объяснение:

По условию на доске написаны составные числа

a₁, a₂, ..., aₓ,

где aₓ ≤ 1700 и НОД(a₁, a₂)=...=НОД(a₁, aₓ)=НОД(a₂, a₃)=...=

=НОД(a₂, aₓ)=...=НОД(aₓ₋₁, aₓ) = 11.

Как известно, любое составное число А можно представить в виде разложения на простые множители

$\tt A=p_1^{\alpha_1 } \cdot p_2^{\alpha_2 } \cdot ... \cdot p_s^{\alpha_s } ,$

где $\tt p_1, p_2, ..., p_s -$ простые числа, $\tt \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_s -$ неотрицательные целые числа.

Так как наибольший общий делитель (НОД) любых двух чисел равен 11, то разложение каждого числа содержит множитель pₓ = 11  и αₓ = 1, а остальные простые множители любой пары различны. Отсюда, первое число, которого написал Олег - это 11. Далее, последовательность можно представить в виде

11·2, 11·3, 11·5, 11·7, 11·11, ..., 11·pₐ.

Из 11·pₐ ≤ 1700 находим pₐ:

11·pₐ ≤ 1700

pₐ ≤ 1700:11

pₐ ≤ 154 6/11.

Наибольшее простое число удовлетворяющее последнее неравенство - это 151. Тогда 11·151= 1661.

Answer 2

Давайте рассмотрим условие задачи. Олег выписывает на доску несколько составных натуральных чисел, меньших 1700, и при этом наибольший общий делитель любых двух из них равен 11.

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.

Так как НОД любых двух чисел, выписанных Олегом, равен 11, это значит, что все эти числа делятся на 11.

Теперь нам нужно найти максимальное количество чисел меньших 1700, которые делятся на 11.

Находим наибольшее число, меньшее 1700, которое делится на 11. Это 1694 (11 * 154).

Таким образом, Олег мог выписать числа 11, 22, 33, ..., 1694. Чтобы найти количество чисел, нужно поделить 1694 на 11:

\[ \frac{1694}{11} \approx 154. \]

Таким образом, Олег мог выписать 154 числа.