Question

А) Решите уравнение: 2cos^2(x−π/2)+sin(π+2x)=0 б) Укажите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0;3π/2)

Answer 1

Ответ:

а )$\pi k, \dfrac {\pi }{4} +\pi n, ~k,n\in\mathbb {Z};$     б)    $\dfrac{\pi }{4} , \pi ,\dfrac{5\pi }{4}$.

Объяснение:

а)

$2\cos^{2} (x-\dfrac{\pi }{2} )+2\sin (\pi +2x)=0;\\2\cos^{2} (\dfrac{\pi }{2} -x)+2\sin (\pi +2x)=0.$

Воспользуемся формулами приведения и получим:

$2sin^{2} x-sin2x=0$

Применим формулу синуса двойного угла

$\sin2x=2\cdot sinx\cdot cosx$

$2sin^{2} x-2\cdot sinx\cdot cosx=0|:2;\\sin^{2} x- sinx\cdot cosx=0;\\sinx( sinx-cosx)=0;\\1) sin x=0 \\x=\pi k, ~k\in\mathbb {Z}.\\2) sinx-cosx=0|:cosx\neq 0\\tgx-1=0;\\tgx=1;\\x= \dfrac{\pi }{4} +\pi n,~n\in\mathbb {Z}$

б) Выберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $(0; \dfrac{3\pi }{2} )$

1) при k=1, x= π.

2)при  n=0,  $x=\dfrac{\pi }{4}$

при  n=1,  $x=\dfrac{5\pi }{4}$ .

Answer 2

Ответ:

а) {π·k, k∈Z; π/4 + π·m, m∈Z}

б) x₁ = π; x₂ = π/4; x₃ = 5π/4

Объяснение:

а) Дано уравнение

2·cos²(x−π/2)+sin(π+2x)=0.

Сначала применим следующие формулы приведения:

cos(α−π/2) = sinα,

sin(α+π) = −sinα.

Тогда получим

2·sin²x-sin2x=0.

Применим формулу синуса двойного угла:

sin2x=2·sinx·cosx.

Далее решаем разложив на множители:

2·sin²x-2·sinx·cosx=0  |:2

sin²x-sinx·cosx=0

sinx(sinx-cosx)=0

sinx=0 ∨ sinx-cosx=0

1) sinx=0 ⇔ x = π·k, k∈Z;

2) Уравнение sinx-cosx=0 можно делить на cosx, так как для значений x при котором cosx=0 имеем sinx≠0 и поэтому не потеряем решение уравнения.

Тогда

sinx=cosx  | :cosx ⇔ tgx = 1 ⇔ x = π/4 + π·m, m∈Z.

б) Выберем корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 3π/2):

1) 0 < π·k < 3π/2    | :π

0 < k < 1,5

k = 1  ∈ Z ⇒ x₁ = π ∈ (0;3π/2).

2) 0 < π/4 + π·m < 3π/2    | :π

0 < 0,25 + m < 1,5

-0,25 < m < 1,25

m = 0; 1  ∈ Z ⇒ x₂ = π/4 ∈ (0;3π/2), x₃ = π/4 + π = 5π/4 ∈ (0;3π/2).

Answer 3

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

а) Уравнение: \(2\cos^2(x-\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi + 2x) = 0\)

Используем тригонометрические тождества:

\(\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x)\)

Теперь подставим это в уравнение:

\[2\cos^2(x-\frac{\pi}{2}) - \sin(2x) = 0\]

Заменим \(\cos^2(x-\frac{\pi}{2})\) через тождество \(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\):

\[2(1 - \sin^2(x-\frac{\pi}{2})) - \sin(2x) = 0\]

Упростим:

\[2 - 2\sin^2(x-\frac{\pi}{2}) - \sin(2x) = 0\]

Теперь заменим \(\sin(2x)\) через тождество \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\):

\[2 - 2\sin^2(x-\frac{\pi}{2}) - 2\sin(x)\cos(x) = 0\]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Заметим, что \(\sin(x-\frac{\pi}{2}) = -\cos(x)\), поэтому:

\[2 - 2(-\cos(x))^2 - 2\sin(x)\cos(x) = 0\]

\[2 - 2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[2\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 2 = 0\]

\[ \cos(x)(\cos(x) - \sin(x) - 1) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. \(\cos(x) = 0\) 2. \(\cos(x) - \sin(x) - 1 = 0\)

Давайте рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Когда \(\cos(x) = 0\), это происходит при \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. Когда \(\cos(x) - \sin(x) - 1 = 0\), это не так просто аналитически решить. Мы можем воспользоваться численными методами или графическим методом для нахождения приближенных значений.

Таким образом, корни уравнения \(2\cos^2(x-\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi + 2x) = 0\) в интервале \((0, \frac{3\pi}{2})\) - это \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число, и корни уравнения \(\cos(x) - \sin(x) - 1 = 0\) найдутся численными методами.

Если есть необходимость в более точных значениях корней, можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции.

Answer 4

а) Для решения уравнения, сначала преобразуем его выражение:

2cos^2(x−π/2) + sin(π+2x) = 0

Так как sin(π+2x) = sin(π)cos(2x) + cos(π)sin(2x) = 0cos(2x) + (-1)sin(2x) = -sin(2x), то уравнение можно переписать следующим образом:

2cos^2(x−π/2) - sin(2x) = 0

Заменим cos^2(x−π/2) на 1 - sin^2(x−π/2):

2(1 - sin^2(x−π/2)) - sin(2x) = 0

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2(x−π/2) - sin(2x) = 0

Перепишем sin(2x) в виде 2sin(x)cos(x):

2 - 2sin^2(x−π/2) - 2sin(x)cos(x) = 0

Теперь заменим sin^2(x−π/2) на 1 - cos^2(x−π/2):

2 - 2(1 - cos^2(x−π/2)) - 2sin(x)cos(x) = 0

Раскроем скобки:

2 - 2 + 2cos^2(x−π/2) - 2sin(x)cos(x) = 0

Сократим 2 и -2:

cos^2(x−π/2) - sin(x)cos(x) = 0

Факторизуем:

cos(x−π/2)(cos(x−π/2) - sin(x)) = 0

Теперь решим каждый множитель отдельно:

1) cos(x−π/2) = 0

x−π/2 = π/2 + kπ, где k - целое число

x = π/2 + kπ + π/2 = kπ + π, где k - целое число

2) cos(x−π/2) - sin(x) = 0

cos(x−π/2) = sin(x)

cos(x−π/2) = cos(π/2 - x)

Так как cos(x) = cos(-x), то:

x−π/2 = π/2 - x + 2kπ, где k - целое число

2x = π + 2kπ

x = π/2 + kπ, где k - целое число

Таким образом, корни уравнения равны: x = kπ + π и x = π/2 + kπ, где k - целое число.

б) Для нахождения всех корней уравнения, принадлежащих промежутку (0;3π/2), подставим значения k = 0, 1, 2:

1) При k = 0: x = 0 + π = π 2) При k = 1: x = π + π = 2π 3) При k = 2: x = 2π + π = 3π

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0;3π/2), равны: x = π, x = 2π и x = 3π.