Question

Доведіть що при всіх дійсних значеннях x виконується нерівность x^2-6x+y^2+4y+15>0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x²-6x+y²+4y+15>0

(x²-6x+9)+(y²+4y+4)+2>0

(x-3)²+(y+2)²+2>0

При любых действительных значений переменных x и y будут выполняться неравенства:

(x-3)²≥0 и (y+2)²≥0.

Но если учесть, что к сумме (x-3)²+(y+2)² прибавляется положительное число 2, то получаем, что неравенства:

(x-3)²+(y+2)²+2>0 ⇒ x²-6x+y²+4y+15>0 будут выполняться при любых действительных значений переменных x и y.

Answer 2

Щоб довести, що нерівність \(x^2 - 6x + y^2 + 4y + 15 > 0\) виконується для всіх дійсних значень \(x\), розглянемо дискримінант квадратного тричлена по змінній \(x\):

\[D_x = b_x^2 - 4ac_x\]

де \(a_x\), \(b_x\), і \(c_x\) - коефіцієнти квадратного тричлена \(x^2 - 6x + y^2 + 4y + 15\).

У нашому випадку \(a_x = 1\), \(b_x = -6\), і \(c_x = y^2 + 4y + 15\).

Підставимо ці значення в формулу для дискримінанту:

\[D_x = (-6)^2 - 4(1)(y^2 + 4y + 15)\]

Розкриємо дужки:

\[D_x = 36 - 4(y^2 + 4y + 15)\]

Спростимо вираз:

\[D_x = 36 - 4y^2 - 16y - 60\]

\[D_x = -4y^2 - 16y - 24\]

Тепер ми хочемо, щоб дискримінант був менше або дорівнював нулю для всіх значень \(x\). Оскільки \(D_x\) залежить від \(y\), ми можемо визначити, за яких умов це виконується.

\[D_x \leq 0\]

\[-4y^2 - 16y - 24 \leq 0\]

Ділимо обидві сторони на -4 (при цьому слід звернути увагу на зміну напрямку нерівності):

\[y^2 + 4y + 6 \geq 0\]

Тепер ми отримали квадратний тричлен відносно \(y\). Ми можемо розв'язати цю квадратну нерівність. Один з можливих способів зробити це - використовувати метод знаходження діапазонів (знаходження коренів квадратного тричлена):

\[y^2 + 4y + 6 = 0\]

Дискримінант цього тричлена:

\[D_y = 4^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8\]

Так як \(D_y < 0\), то у нас немає дійсних коренів. Отже, квадратний тричлен \(y^2 + 4y + 6\) завжди буде додатнім для всіх значень \(y\).

Отже, нерівність \(y^2 + 4y + 6 \geq 0\) виконується для будь-яких \(y\).

Повертаючись до нашої вихідної дискримінанту \(D_x\):

\[D_x = -4y^2 - 16y - 24\]

оскільки \(y^2 + 4y + 6 \geq 0\), то \(-4y^2 - 16y - 24\) завжди буде менше або дорівнювати нулю для будь-яких значень \(y\).

Таким чином, отримуємо, що дискримінант \(D_x\) буде менше або дорівнювати нулю для всіх \(x\), тобто:

\[D_x \leq 0\]

Отже, початкова нерівність \(x^2 - 6x + y^2 + 4y + 15 > 0\) виконується для всіх дійсних значень \(x\) і \(y\).