Question

При каком значении a график квадратичной функции y=ax2-(a-3)x+1 имеет с осью абсцисс одну общую точку? Если задача имеет несколько решений, то в ответ впишите их сумму.

Answer 1

Ответ:10

Объяснение на фото:

Answer 2

Для того чтобы график квадратичной функции \(y = ax^2 - (a-3)x + 1\) имел с осью абсцисс одну общую точку, нужно, чтобы уравнение \(y = ax^2 - (a-3)x + 1\) имело один корень. Это происходит, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае у нас \(a = a\), \(b = -(a-3)\), и \(c = 1\). Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\[D = (-(a-3))^2 - 4 \cdot a \cdot 1\]

Упростим:

\[D = (a-3)^2 - 4a\]

Теперь, чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

\[(a-3)^2 - 4a = 0\]

Раскроем квадрат:

\[a^2 - 6a + 9 - 4a = 0\]

Упростим:

\[a^2 - 10a + 9 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9\]

\[D = 100 - 36 = 64\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения два корня:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[a = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2}\]

Таким образом, корни уравнения:

\[a_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9\]

\[a_2 = \frac{10 - 8}{2} = 1\]

Итак, уравнение \(y = ax^2 - (a-3)x + 1\) имеет одну общую точку с осью абсцисс при \(a = 1\) и \(a = 9\). Сумма этих значений равна \(1 + 9 = 10\).