Question

СРОЧНО!!!5sin^2+3sinxcosx-6cos^2x=1​

Answer 1

5sin²(x) + 3sin(x)cos(x) - 6cos²(x) = 1

• Упростим уравнение:

5sin²(x) + 3sin(x)cos(x) - 6cos²(x) = sin²(x) + cos²(x)

<=>

4sin²(x) + 3sin(x)cos(x) - 7cos²(x) = 0

• Получили однородное тригонометрическое уравнение II типа, значит поделим всё на cos²(x), причём:

cos(x) ≠ 0

x ≠ π/2 + πn, n ∈ ℤ

• Получаем:

4tg²(x) + 3tg(x) - 7 = 0

Пусть tg(x) = t, тогда tg²(x) = t²

4t² + 3t - 7 = 0

D = 9 - 4 • 4 • (-7) = 9 + 112 = 121 = 11²

t₁ = (-3 + 11)/8 = 1

t₂ = (-3 - 11)/8 = -14/8 = -7/4

• Перейдём к системе:

[ tg(x₁) = 1

[ tg(x₂) = -7/4

<=>

[ x₁ = π/4 + πn, n ∈ ℤ

[ x₂ = -arctg(7/4) + πn, n ∈ ℤ

Ответ: x₁ = π/4 + πn, n ∈ ℤ ; x₂ = -arctg(7/4) + πn, n ∈ ℤ

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[5\sin^2x + 3\sin x \cos x - 6\cos^2x = 1.\]

Для удобства, обозначим \(\sin x\) как \(u\) и \(\cos x\) как \(v\). Тогда уравнение примет вид:

\[5u^2 + 3uv - 6v^2 = 1.\]

Теперь давайте попробуем решить это квадратное уравнение относительно \(u\):

\[5u^2 + 3uv - 6v^2 - 1 = 0.\]

\[u = \frac{-3v \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6v^2 - 1)}}{2 \cdot 5}.\]

\[u = \frac{-3v \pm \sqrt{9 + 120v^2 + 20}}{10}.\]

\[u = \frac{-3v \pm \sqrt{120v^2 + 29}}{10}.\]

Теперь мы можем вернуться к исходным функциям:

\[\sin x = \frac{-3\cos x \pm \sqrt{120\cos^2x + 29}}{10}.\]

Таким образом, у нас есть два выражения для \(\sin x\), которые можно решить относительно \(\cos x\). Тем не менее, уравнение может быть сложным для аналитического решения, и, возможно, потребуется численный метод или графический анализ.

Если вы имеете конкретные значения, которые вы хотите использовать для \(x\), то вы можете использовать калькулятор или программу для нахождения численных значений \(\sin x\) и \(\cos x\), подставив их в исходное уравнение и проверив, соответствует ли оно уравнению \(1\).