Question

Упростите выражение: tg(π/6)-tg(7π/12)/tg(π/6)tg(7π/12)+1

Answer 1

Ответ:

tg((π/6)-(7π/12))

Объяснение:

Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

tg(π/6)-tg(7π/12)/tg(π/6)tg(7π/12)+1 = tg((π/6)-(7π/12))

Answer 2

Для начала, приведем выражение к общему знаменателю:

tg(π/6) - tg(7π/12) / tg(π/6) * tg(7π/12) + 1

Найдем значения функций тангенсов:

tg(π/6) = sin(π/6) / cos(π/6) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3

tg(7π/12) = sin(7π/12) / cos(7π/12)

Теперь взглянем на числитель:

tg(π/6) - tg(7π/12) = √3/3 - sin(7π/12) / cos(7π/12)

Для упрощения воспользуемся формулой разности тангенсов и тангенса половинного угла:

tg(π/6 - 7π/12) = (tg(π/6) - tg(7π/12)) / (1 + tg(π/6) * tg(7π/12))

tg(π/6 - 7π/12) = (√3/3 - sin(7π/12) / cos(7π/12)) / (1 + (√3/3) * (sin(7π/12) / cos(7π/12)))

Для упрощения выражения в числителе, воспользуемся тригонометрической формулой sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b):

tg(π/6 - 7π/12) = (√3/3 - sin(π/6)cos(7π/12) + cos(π/6)sin(7π/12)) / (1 + (√3/3) * (sin(7π/12) / cos(7π/12)))

tg(π/6 - 7π/12) = (√3/3 - (1/2)cos(7π/12) + (√3/2)sin(7π/12)) / (1 + (√3/3) * (sin(7π/12) / cos(7π/12)))

Найдем значения функций:

sin(7π/12) = sin(π/3 - π/4) = sin(π/3)cos(π/4) - cos(π/3)sin(π/4) = (√3/2 * 1/√2) - (1/2 * 1/√2) = (√3/2√2) - (1/2√2) = (√3 - 1)/(2√2)

cos(7π/12) = cos(π/3 - π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4) = (1/2 * 1/√2) + (√3/2 * 1/√2) = (1/2√2) + (√3/2√2) = (√3 + 1)/(2√2)

Подставляем значения функций:

tg(π/6 - 7π/12) = (√3/3 - (1/2)((√3 + 1)/(2√2)) + (√3/2)((√3 - 1)/(2√2))) / (1 + (√3/3) * (((√3 - 1)/(2√2)) / ((√3 + 1)/(2√2))))

Упростим числитель:

tg(π/6 - 7π/12) = (√3/3 - (√3 + 1)/(4√2) + (√3 - 1)/(4√2)) / (1 + (√3/3) * (((√3 - 1)/(2√2)) / ((√3 + 1)/(2√2))))

tg(π/6 - 7π/12) = (√3/3 - (√3 + 1) + (√3 - 1)) / (4√2 + (√3 * (√3 - 1)) / (√3 + 1))

Упростим числитель:

tg(π/6 - 7π/12) = (√3/3 - √3 - 1 + √3 - 1) / (4√2 + (√3 * (√3 - 1)) / (√3 + 1))

tg(π/6 - 7π/12) = (-2 - 2√3) / (4√2 + (√3 * (√3 - 1)) / (√3 + 1))

Теперь приступим к знаменателю. Упростим его:

1 + tg(π/6) * tg(7π/12) = 1 + (√3/3) * ((√3 - 1)/(√3 + 1))

1 + tg(π/6) * tg(7π/12) = 1 + (√3 * (√3 - 1)) / (3 + √3)

Теперь подставляем значения функций:

1 + (√3 * (√3 - 1)) / (3 + √3) = 1 + (√3/1 * (√3 - 1)) / (3 + √3)

1 + (√3 * (√3 - 1)) / (3 + √3) = 1 + (√3 * (√3 - 1)) / (3 + √3)

Теперь найденные значения числителя и знаменателя можно подставить в исходное выражение:

tg(π/6) - tg(7π/12) / tg(π/6) * tg(7π/12) + 1 = (-2 - 2√3) / (4√2 + (√3 * (√3 - 1)) / (√3 + 1)) * (1 + (√3 * (√3 - 1)) / (3 + √3))

Окончательно упростив, получим ответ на задачу.