Question

Найдите количество решений уравнения cos^2x + sinx * cosx =1 на промежутке [-π;π]​

Answer 1

Ответ:  на  [-π ; π ]  пять решений .

$cos^2x+sinx\cdot cosx=1\\\\cos^2x+sinx\cdot cosx=sin^2x+cos^2x\\\\sin^2x-sinx\cdot cosx=0\\\\sinx\cdot (sinx-cosx)=0\\\\a)\ \ sinx=0\ \ ,\ \ x=\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sinx-cosx=0\ \Big|:cosx\ne 0\\\\tgx-1=0\ \ ,\ \ \ tgx=1\ \ ,\ \ \ x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in [-\pi ;\, \pi \ ]:\ \ x_1=-\pi \ ,\ x_2=-\dfrac{3\pi }{4}\ ,\ x_3=0\ ,\ x_4=\dfrac{\pi}{4}\ ,\ x_5=\pi \ .$

Answer 2

Для нахождения количества решений уравнения cos^2(x) + sin(x) * cos(x) = 1 на промежутке [-π; π], мы можем использовать графический подход и аналитический подход.

Графический подход

Первым шагом мы можем построить график функции y = cos^2(x) + sin(x) * cos(x) - 1 на промежутке [-π; π]. Затем мы можем определить количество точек пересечения графика с осью x.

Аналитический подход

Для аналитического подхода мы можем решить уравнение алгебраическими методами. Давайте разберемся по шагам:

1. Перепишем уравнение в виде: cos^2(x) + sin(x) * cos(x) - 1 = 0.

2. Заметим, что уравнение является квадратным относительно cos(x). Давайте введем новую переменную t = cos(x). Тогда уравнение примет вид: t^2 + t - 1 = 0.

3. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac, и формулы для нахождения корней квадратного уравнения.

a = 1, b = 1, c = -1.

D = 1^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5.

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня.

t1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √5) / 2.

t2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √5) / 2.

4. Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратную функцию косинуса (cos^-1). Напомним, что t = cos(x).

x1 = cos^-1(t1).

x2 = cos^-1(t2).

5. Проверим, лежат ли найденные значения x в промежутке [-π; π]. Если да, то они являются решениями уравнения.

Если нет, то уравнение не имеет решений на данном промежутке.

Таким образом, чтобы найти количество решений уравнения cos^2(x) + sin(x) * cos(x) = 1 на промежутке [-π; π], мы должны найти количество значений x1 и x2, которые лежат в данном промежутке.