Question

Исследовать на экстремум функцию: y=x^3 - 6x^2 ​

Answer 1

1. Найдём производную функцию
y’=3x^2-12x
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки
3х^2-12х=0
3x(x-4)=0
3x=0, х-4=0
x=0. х=4
Получили две критические точки x=0 и х=4. Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах. (во вложении)
В точке x =0 производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума:
Ymax=y(0)=0^3-6*0^2=0
В точке x=4 производная меняет знак с «-» на «+», значит это точка минимума. Значение минимума соответственно равно
Ymin=y(4)=4^3-6*4^2=64-96=-32

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нужно выполнить несколько шагов, используя методы математического анализа. Давайте рассмотрим функцию \( y = x^3 - 6x^2 \) и найдем её критические точки, а также определим тип экстремума в каждой из них.

Шаг 1: Найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \):

\[ y' = 3x^2 - 12x \]

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

\[ 3x^2 - 12x = 0 \]

Факторизуем это уравнение:

\[ 3x(x - 4) = 0 \]

Таким образом, у нас два значения \( x \): \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

Шаг 3: Определим тип экстремума в найденных критических точках, используя вторую производную. Возьмем вторую производную функции \( y \):

\[ y'' = 6x - 12 \]

Теперь подставим значения \( x = 0 \) и \( x = 4 \) во вторую производную:

Для \( x = 0 \):

\[ y''(0) = 6(0) - 12 = -12 \]

Для \( x = 4 \):

\[ y''(4) = 6(4) - 12 = 12 \]

Шаг 4: Определим тип экстремума.

- Если \( y'' < 0 \), то это максимум. - Если \( y'' > 0 \), то это минимум.

Таким образом, у нас есть максимум при \( x = 0 \) и минимум при \( x = 4 \).

Итак, функция \( y = x^3 - 6x^2 \) имеет максимум при \( x = 0 \) и минимум при \( x = 4 \). Максимальное значение функции в максимуме, а минимальное значение функции в минимуме можно найти, подставив соответствующие значения \( x \) обратно в исходную функцию.