Question

Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, если a5 = 27, а27 = 60. ​

Answer 1

an=a₁+d*(n-1)

а₅=a₁+4d=27

a₂₇=a₁+26d=60, вычтем из второго первое уравнение. получим

22d=33; d=3/2

а₁=-4d+27=-4*3/2+27=33

S=(a₁+a₁₂)*12/2=6*(33+33+11*3/2)=6*66+99=396+99=495

Answer 2

Для нахождения суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии (АП), можно воспользоваться формулой для суммы первых \( n \) членов такой прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов, \( a_1 \) - первый член, а \( a_n \) - \( n \)-й член арифметической прогрессии.

В данном случае у нас известны \( a_5 = 27 \) и \( a_{27} = 60 \). Нам нужно найти сумму первых 12 членов, то есть \( S_{12} \).

Сначала определим разность арифметической прогрессии (\( d \)):

\[ d = \frac{a_{27} - a_5}{27 - 5} \]

Подставим известные значения:

\[ d = \frac{60 - 27}{27 - 5} = \frac{33}{22} \]

Теперь найдем первый член прогрессии (\( a_1 \)) с использованием формулы:

\[ a_1 = a_5 - 4d \]

Подставим значения:

\[ a_1 = 27 - 4 \cdot \frac{33}{22} \]

Рассчитаем \( a_1 \):

\[ a_1 = 27 - \frac{132}{22} = 27 - 6 = 21 \]

Теперь у нас есть значения \( a_1 \), \( a_{12} \) и \( n = 12 \), и мы можем использовать формулу для суммы первых \( n \) членов:

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (21 + a_{12}) \]

Нам нужно найти \( a_{12} \). Используем формулу:

\[ a_{12} = a_1 + 11d \]

Подставим значения:

\[ a_{12} = 21 + 11 \cdot \frac{33}{22} \]

Рассчитаем \( a_{12} \):

\[ a_{12} = 21 + \frac{363}{22} = \frac{525}{22} \]

Теперь мы можем найти \( S_{12} \):

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot \left(21 + \frac{525}{22}\right) \]

Рассчитаем \( S_{12} \):

\[ S_{12} = 6 \cdot \frac{487}{22} = \frac{2435}{11} \]

Таким образом, сумма первых 12 членов арифметической прогрессии равна \( \frac{2435}{11} \).