Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямыми y=0 и x=2

Answer 1

$\displaystyle S=\int\limits^2_0 {x^4} \, dx=\frac{x^5}{5} \bigg|^2_0=\frac{2^5}{5}=\frac{32}{5}=6.4$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямыми y=0 и x=2, мы можем использовать интегралы.

Нахождение площади между графиком функции и осью x

Сначала найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и осью x. Для этого мы будем интегрировать функцию x^4 от x=0 до x=2 по оси x. Формула для нахождения площади между графиком функции и осью x выглядит следующим образом:

S = ∫[a, b] |f(x)| dx

где a и b - это границы интегрирования, f(x) - функция, и |f(x)| - модуль значения функции.

В данном случае, мы интегрируем функцию y=x^4 от x=0 до x=2:

S1 = ∫[0, 2] |x^4| dx

Вычислим данный интеграл:

S1 = ∫[0, 2] x^4 dx

Для интегрирования функции x^4 мы можем использовать формулу:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C

Подставляя значения в формулу, получим:

S1 = [(x^5)/(5)]|[0, 2] = (2^5)/(5) - (0^5)/(5) = 32/5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и осью x, равна 32/5.

Нахождение площади между прямыми y=0 и x=2

Затем найдем площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0 и x=2. Это треугольник, и его площадь можно найти, используя формулу:

S2 = (1/2) * base * height

В данном случае, основание треугольника равно 2 (так как x=2), а высота равна 0 (так как y=0). Подставляя значения в формулу, получим:

S2 = (1/2) * 2 * 0 = 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0 и x=2, равна 0.

Общая площадь фигуры

Чтобы найти общую площадь фигуры, мы должны сложить площади фигур, ограниченных графиком функции и прямыми.

Общая площадь = S1 + S2 = 32/5 + 0 = 32/5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^4 и прямыми y=0 и x=2, равна 32/5 или 6.4.