Question

F(x) =3x^3+5x^2-3f'(x) =0f'(x) <0

Answer 1

Ответ:

$f'(x) = 0$ при $x_{1} = 0;x_{2} = -\dfrac{10}{27}$

$f'(x) < 0$ при $x \in \left (-\dfrac{10}{27};0 \right)$

Объяснение:

$f(x) = 3x^{3} + 5x^{2} - 3$

$f'(x) = 0$

$(3x^{3} + 5x^{2} - 3)' = 0$

$27x^{2} + 10x = 0$

$x(27x + 10) = 0$

$x = 0; 27x +10 = 0$

$x = 0; 27x=-10|:27$

$x_{1} = 0;x_{2} = -\dfrac{10}{27}$

$f'(x) < 0$

На основе решения уравнения $f'(x) = 0$ воспользуемся методом интервалов для решения неравенства (смотрите рисунок):

$x \in \left (-\dfrac{10}{27};0 \right)$

Answer 2

Итак, у вас дана функция \( f(x) = 3x^3 + 5x^2 \) и условие \( f'(x) = 0 \) при \( f'(x) < 0 \).

Давайте начнём с вычисления производной функции \( f(x) \) для нахождения \( f'(x) \).

\[ f(x) = 3x^3 + 5x^2 \]

Чтобы найти производную этой функции, мы можем применить правила дифференцирования для каждого члена:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) \]

Производная \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \), где \( n \) - степень переменной \( x \).

Применяя это правило, мы получаем:

\[ f'(x) = 9x^2 + 10x \]

Теперь, когда у нас есть выражение для производной функции \( f(x) \), давайте рассмотрим условие \( f'(x) = 0 \) при \( f'(x) < 0 \).

\[ f'(x) = 9x^2 + 10x = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить, приравняв его к нулю:

\[ 9x^2 + 10x = 0 \]

\[ x(9x + 10) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \( x \):

1. \( x = 0 \) 2. \( 9x + 10 = 0 \) \( 9x = -10 \) \( x = -\frac{10}{9} \)

Теперь нужно определить знак \( f'(x) \) на интервалах между корнями и вне их.

Составим таблицу знаков для \( f'(x) = 9x^2 + 10x \):

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Интервалы} & f'(x) \\ \hline (-\infty, -\frac{10}{9}) & - \\ \hline (-\frac{10}{9}, 0) & + \\ \hline (0, +\infty) & + \\ \hline \end{array} \]

Таким образом, мы видим, что \( f'(x) < 0 \) на интервале \( (-\infty, -\frac{10}{9}) \).

Итак, при условии \( f'(x) < 0 \), ответом будет интервал значений \( x \) от минус бесконечности до \( -\frac{10}{9} \).