Question

Противоположные стороны четырехугольника попарно равны. Докажите, что его диагонали делятся точкой пересечения пополам

Answer 1

Ответ:

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Answer 2

Для доказательства того, что диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, мы можем использовать свойство параллелограмма.

По условию, противоположные стороны четырехугольника попарно равны. Это значит, что мы имеем дело с параллелограммом, так как параллелограмм имеет две пары равных противоположных сторон.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Для доказательства этого факта, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

Пусть ABCD - четырехугольник, где AB || CD и AD || BC. Проведем диагонали AC и BD. Пусть точка пересечения диагоналей обозначается как O.

Мы можем заметить, что треугольники AOB и COD являются подобными, так как у них соответственные углы равны (по свойству параллелограмма).

Также мы можем заметить, что треугольники AOC и BOD являются подобными, так как у них соответственные углы равны (по свойству параллелограмма).

Из подобия треугольников мы можем сделать вывод, что отношение длин отрезков AO и OB равно отношению длин отрезков CO и OD. То есть, AO/OB = CO/OD.

Так как AO/OB = CO/OD, и AO + OB = CO + OD (по свойству параллелограмма), то мы можем сделать вывод, что AO = CO и OB = OD.

Таким образом, диагонали AC и BD делятся точкой пересечения O пополам.

Итак, мы доказали, что если прот