Question

Формула п-го члена последовательности 1.3.6.10.15.21.28.36.45....

Answer 1

1

2 = 3 - 1

3 = 6 - 3

4 = 10 - 6

........

a(1) = 1

a(n) = a(n - 1) + n   (n ≥ 2)

==========================

1 = (1 * 2) / 2

3 = (2 * 3)/2

6 = (3 * 4)/2

10 = (4 * 5)/2

......

a(n) = n*(n + 1) / 2     (n ≥ 1)

Answer 2

            1,  3,  6,  10,  15,  21,  28,  36,  45,  ...

1) Каждый член последовательности умножим на 2.

2,  6,  12,  20,  30,  42,  56,  72,  90,  ...

2) А теперь каждый член полученной последовательности легко представить в виде произведения, где первый множитель равен порядковому номеру члена, а второй  множитель равен порядковому номеру, увеличенному на 1.

1         6        12        20        30       42        56      72        90

║        ║         ║         ║           ║         ║          ║       ║          ║                                  

1·2      2·3      3·4       4·5        5·6      6·7       7·8     8·9       9·10

3)  Получаем формулу п-го члена второй последовательности.

                               $x_n=n(n+1)$

4)  А для перехода к формуле п-го члена первой последовательности нужно выполнить действие, обратное умножению на 2, т.е. нужно  поделить на 2.  

                        $a_n=\frac{x_n}{2}$

  Ответ:  $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Answer 3

Данная последовательность является треугольной числовой последовательностью. Давайте выясним, как можно получить формулу для \(n\)-го члена этой последовательности.

Обратим внимание на разницу между последовательными членами:

\[ \begin{align*} &1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \ldots \\ &2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \ldots \end{align*} \]

Мы видим, что разница между членами последовательности равна последовательности натуральных чисел. Теперь, чтобы получить формулу для \(n\)-го члена последовательности, мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) натуральных чисел.

Формула для суммы первых \(n\) натуральных чисел:

\[ S_n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]

Таким образом, формула для \(n\)-го члена последовательности будет:

\[ a_n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]

Теперь подставим \(n\) и найдем \(a_n\) для данной последовательности:

\[ a_n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} = \frac{n^2 + n}{2} \]

Итак, формула для \(n\)-го члена последовательности \(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \ldots\) будет:

\[ a_n = \frac{n^2 + n}{2} \]