Question

Найти наименьшее значение выражения 2sin x - 7 cos​ x

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Ответ:

$2sinx-7cosx=\sqrt{2^2+7^2}\cdot \Big(\dfrac{1}{\sqrt{2^2+7^2}}\cdot 2sinx-\dfrac{1}{\sqrt{2^2+7^2}}\cdot 7cosx\Big)=\\\\\\=\sqrt{53}\cdot \Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\cdot sinx-\dfrac{7}{\sqrt{53}}\cdot cosx\Big)\ ;$

Так как  $\Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\Big)^2+\Big(\dfrac{7}{\sqrt{53}}\Big)^2=\dfrac{4}{53}+\dfrac{49}{53}=\dfrac{53}{53}=1$   и  $sin^2\alpha +cos^2\alpha =1$  , то

можно положить  $\dfrac{2}{\sqrt{53}}=cos\alpha \ ,\ \ \dfrac{7}{\sqrt{53}}=sin\alpha$  .  Ввели вспомогательный угол  альфа .

Тогда по формулам тригонометрии имеем:

$\sqrt{53}\cdot \Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\cdot sinx-\dfrac{7}{\sqrt{53}}\cdot cosx\Big)=\sqrt{53}\cdot \Big(cos\alpha \cdot sinx-sin\alpha \cdot cosx\Big)=\\\\=\sqrt{53}\cdot sin(x-\alpha )$

Синус любого угла принимает значения от  -1  до  1 , то есть

$-1\leq sin(x-\alpha )\leq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ -\sqrt{53}\, \leq \sqrt{53}\, sin(x-\alpha )\, \leq \sqrt{53}\\\\-\sqrt{53}\, \leq 2sinx-7cosx\, \leq \sqrt{53}$

Наименьшее значение заданного выражения равно   $-\sqrt{53}$   .

Answer 3

Для поиска минимального значения выражения \(2\sin(x) - 7\cos(x)\), давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями.

Заметим, что данное выражение можно представить в виде: \[2\sin(x) - 7\cos(x) = R\sin(x + \phi),\] где \(R\) - амплитуда (радиус) и \(\phi\) - фазовый угол.

Сравнивая коэффициенты при \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\), мы можем выразить \(R\) и \(\phi\): \[R\sin(\phi) = 2\] \[R\cos(\phi) = -7\]

Решая эти уравнения, мы находим \(R\) и \(\phi\): \[R = \sqrt{2^2 + (-7)^2} = \sqrt{53}\] \[\tan(\phi) = \frac{-7}{2} \implies \phi = \arctan\left(\frac{-7}{2}\right)\]

Таким образом, исходное выражение может быть переписано в виде: \[2\sin(x) - 7\cos(x) = \sqrt{53}\sin\left(x + \arctan\left(\frac{-7}{2}\right)\right)\]

Теперь мы видим, что минимальное значение этого выражения достигается, когда \(\sin\left(x + \arctan\left(\frac{-7}{2}\right)\right) = -1\), поскольку амплитуда \(\sqrt{53}\) всегда положительна.

Таким образом, минимальное значение выражения равно \(-\sqrt{53}\), и оно достигается, например, при \(x = -\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.