Question

подскажите, как найти найбольшее значение примера 4sin a + 5 cos a, пожалуйста, с объяснением. заранее, спасибо)​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\sqrt{41}}$

Объяснение:

$max: 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

Воспользуемся методом вспомогательного аргумента:

Введем функцию $f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

$f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha \bigg |\cdot \dfrac{1}{\sqrt{4^{2} + 5^{2}}}$

$(\sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41})$

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \dfrac{4}{\sqrt{41} } \cdot \sin \alpha + \dfrac{5}{\sqrt{41} } \cdot \cos \alpha$

Пусть $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ и $\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$

Так как $\sin^{2} \phi + \cos^{2} \phi = 1$

$\bigg (\dfrac{4}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} + \bigg (\dfrac{5}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} = 1$

$\dfrac{16}{41} + \dfrac{25}{41} = 1$

$\dfrac{41}{41} = 1$

$1 = 1$ , следовательно существует такой угол $\phi$, что $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ , а$\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$.

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha | \cdot \sqrt{41}$

$f(\alpha ) = \sqrt{41}(\sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha )$

$f(\alpha ) = \sqrt{41} \sin (\phi + \alpha )$

По свойствам функции синус она достигает максимального значения 1, тогда максимум функции $f(\alpha ) = \sqrt{41} \cdot 1 = \sqrt{41}$

$max: f(\alpha ) =\sqrt{41}$

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение выражения 4sin(a) + 5cos(a), мы можем использовать свойства тригонометрии и методы оптимизации. Давайте разберемся подробнее.

Определение наибольшего значения выражения

Для начала, давайте вспомним, что синус и косинус - это функции, которые принимают значения от -1 до 1. Таким образом, выражение 4sin(a) + 5cos(a) будет иметь значения в диапазоне от -9 до 9.

Метод оптимизации

Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, мы можем использовать метод оптимизации, такой как метод дифференциальной эволюции или метод градиентного спуска. Однако, в данном случае мы можем воспользоваться свойствами тригонометрии для упрощения задачи.

Использование свойств тригонометрии

Мы знаем, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом 2π. Это означает, что значения синуса и косинуса повторяются каждые 2π радиан. Таким образом, чтобы найти наибольшее значение выражения 4sin(a) + 5cos(a), нам нужно найти угол a, при котором синус и косинус принимают свои максимальные значения.

Максимальные значения синуса и косинуса

Максимальное значение синуса равно 1, а максимальное значение косинуса также равно 1. Таким образом, чтобы получить наибольшее значение выражения 4sin(a) + 5cos(a), нам нужно найти угол a, при котором и синус, и косинус равны 1.

Нахождение угла a

Чтобы найти угол a, при котором синус и косинус равны 1, мы можем воспользоваться обратными функциями синуса и косинуса. Обратный синус и обратный косинус возвращают угол, при котором синус или косинус равны заданному значению.

Решение

Таким образом, чтобы найти наибольшее значение выражения 4sin(a) + 5cos(a), нам нужно найти угол a, при котором синус и косинус равны 1. Используя обратные функции синуса и косинуса, мы можем найти этот угол.

Угол a, при котором синус и косинус равны 1, равен π/2 или 90 градусов.

Таким образом, наибольшее значение выражения 4sin(a) + 5cos(a) достигается при угле a равном π/2 или 90 градусов.